| Résume | Soit $A$ un ensemble dénombrable de réels $>1$, et soit $\epsilon>0$. Existe-il des éléments distincts $\alpha, \beta$ dans $A$ et un entier naturel $n$ tel que $|n\alpha-\beta|<\epsilon$ ? Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que la réponse est oui si $A$ possède une densité logarithmique supérieure positive i.e. $\limsup_{x\to +\infty} \frac{1}{\log x} \sum_{\alpha\in A, \alpha\leq x} \frac{1}{\alpha}>0$. Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.
Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.
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