Les W-algèbres affines forment une famille d'algèbres vertex indexée par les orbites nilpotente d'une algèbre de Lie simple. Chacune d'entre elles est construite comme la réduction hamiltonienne non-commutative, ou cohomologie BRST, d'une algèbre de Kac-Moody affine. On peut associer à chacune de ces W-algèbres une variété de Poisson affine, qui est isomorphe à une tranche de Slodowy transverse à l'orbite nilpotente correspondante.
Dans la première partie de l'exposé, je rappellerai la construction des tranches de Slodowy comme réduction hamiltonienne du dual de l'algèbre de Lie simple considérée ci-dessus. Je présenterai ensuite le théorème de réduction par étapes obtenus avec Naoki Genra : étant donnés deux orbites nilpotentes bien choisies, on peut réaliser l'une des deux tranches de Slodowy associées comme la réduction hamiltonienne de l'autre tranche.
Dans la seconde partie de l'exposé, j'introduirai la construction par cohomologie BRST des W-algèbres affines. J'expliquerai ensuite comment Genra et moi avons utilisé la réduction par étapes géométrique pour construire une réduction par étapes non-commutative entre W-algèbres affines. Je dirai comment cette construction nous permet de nous attaquer à une conjecture d'Arakawa, van Ekeren et Moreau sur des isomorphismes entre quotients simples de W-algèbres à des niveaux admissibles. Si le temps le permet, j'expliquerai comment cette conjecture est liée à des isomorphismes entre tranches de Slodowy nilpotentes démontrés par Kraft et Procesi.
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