| | La symétrie miroir "classique" suggère que le comptage de courbes rationnelles d'une variété de Calabi-Yau de dimension 3 est encodé dans une construction de nature Hodge théorique pour une variété miroir (accouplement de Griffiths-Yukawa). Le groupe de physiciens Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa ont conjecturé le phénomène correspondant pour le comptage de courbes de genre 1. Ils prédisent qu'à la place de l'accouplement de Griffiths-Yukawa, une construction au-delà de la théorie de Hodge est nécessaire. Ils introduisent ce que l'on appelle aujourd'hui torsion BCOV. Il s'agit d'une quantité de nature spectrale, combinaison de torsions analytiques holomorphes. Ces torsions analytique holomorphes, difficiles à comprendre, constituent un morceau de la formule de Grothendieck-Riemann-Roch, relevée au niveau des formes différentielles, et c'est à travers cette propriété que l'on cherche à obtenir des contraintes de nature géométrique sur la torsion BCOV. La construction de Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa présente des inconvénients (dépendance de structure kählerienne), résolus plus tard par Fang-Lu-Yoshikawa en dimension 3. Ces auteurs en étudient aussi le comportement asymptotique pour des familles de Calabi-Yau de dimension 3, à un paramètre, et qui dégénèrent. Ils font des hypothèses restrictives sur la géométrie de la variété limite, mais elles suffisent pour démontrer la conjecture de BCOV pour le pinceau de Dwork et son miroir. En dimension 4, l'analogue de la conjecture BCOV a été proposé par Klemm-Pandharipande. Cependant, il reste à définir proprement un invariant BCOV, et en étudier son comportement asymptotique, pour attaquer plus tard la conjecture. Dans un travail en cours avec D. Eriksson et C. Mourougane, nous construisons l'invariant BCOV en dimension 4, et nous en obtenons le comportement asymptotique sous des hypothèses générales, étendant et généralisant les résultats de Fang-Lu-Yoshikawa. L'asymptotique elle même a son propre intérêt, elle s'interprète, du point de vue des physiciens, comme des "conditions de bord". Dans cet exposé, je motiverai la construction et pertinence de l'invariant BCOV, j'expliquerai le lien avec Grothendieck-Riemann-Roch d'après les travaux de Bismut-Gillet-Soulé, et je passerai ensuite à décrire les résultats avec D. Eriksson et C. Mourougane, qui font appel à des résultats classiques (Schmid) et nouveaux sur les singularités des métriques de Hodge. |