Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

Une étude des séries d'Eisenstein de poids $3/2$, due à D. Zagier, montre que la série $\sum H(N)q^N$ est, à quelques termes non-holomorphes près, une forme modulaire de poids $3/2$, où $H(N)$ est le nombre de classes de formes quadratiques de discriminant $N$. On peut en déduire le théorème de trois carrés de Gauss, qui relie le nombre $H(N)$ au nombre de façons d'écrire $N$ comme la somme de trois carrés. D'autre part, l'étude du groupe métaplectique adélique, en particulier la théorie de ses représentations automorphes, a été développée depuis le travail de Zagier. Je présenterai une version adélique du résultat de Zagier, qui peut se généraliser aux autres corps de nombres, et éventuellement aux autres groupes.

I will explain Mochizuki’s inter-universal Teichmuller theory and its Diophantine consequence.

Arithmetic dynamics is a combination of dynamical systems and number theory. In this talk, we discuss the periodic points of quadratic polynomials. We also discuss Morton-Silverman uniform boundedness conjecture. It states that the number of periodic points of any rational function with rational coefficients is bounded by a constant depending only on the degree of the function. The conjecture is still unsolved even for quadratic polynomials.

Dans ce travail, nous démontrons une nouvelle propriété de Northcott pour la hauteur de Faltings. Plus précisément étant donnés un entier $g$ et un nombre $N$, nous démontrons, sous la conjecture de Colmez et la conjecture d'Artin, qu'il n'y a qu'un nombre fini de variétés abéliennes CM sur $\mathbb C$ de dimension $g$ dont la hauteur de Faltings est inférieure à $N$. La démonstration utilise de nouveaux outils de la théorie de Hodge p-adique entière pour étudier la variation de hauteurs de Faltings dans une classe d'isogénie de variétés abéliennes CM. Dans des cas particuliers, nous utilisons cette technique pour développer de nouvelles formules de type Colmez pour la hauteur de Faltings.

Broadhurst et Roberts ont récemment étudié les fonctions L globales associées aux puissances symétriques des sommes de Kloosterman et conjecturé une équation fonctionnelle après de nombreuses expériences numériques. Grâce aux travaux de Yun, ces fonctions L correspondent à des motifs « usuels » sur Q dont on connait la modularité en petit degré. Pour calculer les nombres de Hodge ou relier les valeurs spéciales des fonctions L aux périodes il est cependant plus convenable de travailler avec des motifs exponentiels. J'introduirai les motifs en question et montrerai comment la filtration de Hodge irrégulière permet d'expliquer les facteurs gamma à l'infini dans l'équation fonctionnelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Claude Sabbah et Jeng-Daw Yu.

The fibration method for proving strong (weak) approximation requires that at least the restriction of Brauer groups of total spaces to the fibres over a Hilbert set is surjective so that one can apply the approximation property over the fibres. However, in many practical problems, the fibrations do not satisfy such a property. In this talk, we'll explain how one can overcome this difficulty if a torus acts on the fibration such that this fibration becomes a torsor over an open dense subset under the torus. This is a joint work with Yang Cao.

In his landmark 1976 paper "Modular curves and the Eisenstein ideal," Mazur studied congruences modulo p between cusp forms and an Eisenstein series of weight 2 and prime level N. He proved a great deal about these congruences, and also posed some questions: how many cusp forms of a given level are congruent to the Eisenstein series? How big is the extension generated by their coefficients? In joint work with Preston Wake, we give an answer to these questions in terms of cup products (and Massey products) in Galois cohomology. We may also indicate some partial generalisations of Mazur's results to square-free level N.

Ce travail est en collaboration avec Florent Jouve. Dans une lettre datant de 1853, Tchebychev nota qu'en comparant les nombres premiers dans les classes d'équivalence 1 et 3 modulo 4, il y a un sérieux excès de ceux de la première forme. De nombreuses généralisations de ce phénomène ont été étudiées au fil des années. Dans cet exposé nous discuterons du biais de Tchebychev dans la distribution des nombres premiers selon des conditions de type Tchebotarev. Par exemple, on comparera la quantité de nombres premiers p congrus à 1 modulo 3 pour lesquels 2 est un cube modulo p à celle pour laquelle cette condition n'est pas satisfaite. Un de nos buts sera d'étudier les biais extrêmes, c'est-à-dire que nous donnerons des conditions sur les groupes de Galois impliqués qui garantissent de sérieuses asymétries. Nous verrons que ces questions sont fortement liées à la théorie de la représentation de ce groupe. Par exemple, dans le cas d'extensions $S_n$ nous exploiterons la richesse de la théorie de la représentation du groupe symétrique ainsi que les récentes bornes sur ses caractères dues à Roichman, Féray, Sniady, Larsen et Shalev. Nous appliquerons aussi des résultats de type Galois inverse effectif.

Les normes $U^k$ sont une suite de normes qui peuvent être considérées comme des mesures du caractère aléatoire d'une application à valeurs complexes définie sur un groupe abélien fini. Un théorème inverse pour la norme $U^k$ est une caractérisation des applications bornées dont la norme $U^k$ n'est pas loin de son maximum. J'expliquerai pourquoi tels théorèmes sont interessants, et j'essayerai de décrire quelques idées d'une preuve récente, obtenue avec Luka Milićević, d'un théorème qui donne pour la première fois de l'information quantitative pour une norme $U^k$ avec $k$ plus grand que 3.

A famous theorem due to Erdős and Kac states that the number of prime divisors of an integer N behaves like a normal distribution. In this talk we consider analogues of this result in the setting of arithmetic geometry, and obtain probability distributions for questions related to local solubility of algebraic varieties. This is joint work with Efthymios Sofos.

A key tool in the study of algebraic number fields are the Iwasawa algebras, originally constructed by Iwasawa in the 1960’s to study the "class groups" of number fields, but since appearing in varied settings such as a Lazard’s work on $p$-adic Lie groups and Fontaine’s work on local Galois representations. For a prime $p$, the Iwasawa algebra of a $p$-adic Lie group $G$, denoted by $\mathbb Z_p[[G]]$, is a non-commutative completed group algebra of G. In the first part of the talk, we lay the foundation by giving a very explicit description of certain Iwasawa algebras (one such algebra was described by my advisor Clozel). The base change map between the Iwasawa algebras over extensions of $\mathbb Q_p$ motivates us to discuss the globally analytic $p$-adic representations following Emerton’s work. In the second part of the talk, we will discuss about numerical experiments using a computer algebra system which give heuristic support to Greenberg’s $p$-rationality conjecture affirming the existence of “$p$-rational” number fields with Galois groups $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^t$. The p-rational fields are algebraic number fields whose Galois cohomology is particularly simple and which are interesting because they offer ways of constructing Galois representations with big open images. We go beyond Greenberg’s work and construct new Galois representations of the absolute Galois group of $\mathbb Q$ with big open images in reductive groups over $\mathbb Z_p$ (ex. $GL(n; \mathbb Z_p)$; $SL(n;\mathbb Z_p)$; $SO(n; \mathbb Z_p)$; $Sp(2n; \mathbb Z_p)$). We are proving results which show the existence of $p$-adic Lie extensions of $\mathbb Q$ where the Galois group corresponds to a certain specific p-adic Lie algebra (ex. $sl(n)$; $so(n)$; $sp(2n)$). This relates our work with a more general and classical inverse Galois problem for $p$-adic Lie extensions.

Multiple zeta values are periods of the fundamental group of the punctured Riemann sphere. In this talk we will introduce functions on the upper half plane which constitute their genus one generalization, and motivated by physics computations we will explain how to describe their modular behaviour using Brown's theory of iterated Eichler integrals.

Dans un travail en commun avec Olivier Wittenberg nous démontrons que l'obstruction de Brauer-Manin contrôle le comportement des zéro-cycles pour les espaces homogènes de groupes linéaires sur les corps de nombres. Quand le groupe est semi-simple et simplement connexe et les stabilisateurs sont finis et hyper-résolubles notre méthode est également applicable au points rationnels. Cela peut être utilisé, par exemple, pour obtenir une réponse raffinée au problème de Galois inverse pour les groupes hyper-résolubles sur tout corps de nombres.

The motivic cohomology of a variety $X$ over a field is defined (at least) in two ways: the Hom-groups of Voevodsky's category of motives $\mathbf{DM}$, or the homology groups of a cycle complex introduced by Bloch. Voevodsky proved a comparison isomorphism between them for any smooth $X$. Recently, Kahn-Saito-Yamazaki extended Voevodsky's category $\mathbf{DM}$ to the category of motives with modulus $\mathbf{MDM}$. The constructions of the categories are similar, but there is one essential difference: $\mathbb{A}^1$-homotopy invariance is replaced by $(\mathbb{P}^1 ,\infty )$-invariance (or ``cube invariance"). The category $\mathbf{MDM}$ is large enough to contain all commutative algebraic groups over a field (more generally, reciprocity sheaves). On the other hand, Binda-Saito introduced the higher Chow groups with modulus $\mathrm{CH}^r (X,D,\ast )$, as a non-$\mathbb{A}^1$-homotopical generalization of Bloch's higher Chow groups. They describe some non-$\mathbb{A}^1$-homotopy invariant objects (e.g. the big de Rham complexes of a field, the \'{e}tale fundamental groups). In this talk, I will formulate and state the cube invariance for the higher Chow groups with modulus, which may give us a hint to find a right generalization of Voevodsky's comparison theorem. If time permits, I will explain some results on the ``gap" between cube invariance and $\mathbb{A}^1$-homotopy invariance.

Une variété abélienne définie sur un corps de nombres et admettant des multiplications complexes (CM) a potentiellement bonne réduction partout. Lorsqu'une courbe de genre non nul a bonne réduction en une place finie, sa variété jacobienne aussi. La réciproque est toutefois fausse dès le genre 2. Dans un article en commun avec Philipp Habegger, nous montrons le résultat suivant : Soit $F$ un corps quadratique réel. Il y a au plus un nombre fini de courbes $C$ de genre 2 définies sur une clôture algébrique de $\mathbb Q$ (à isomorphisme près) dont la jacobienne $\mathrm{Jac}(C)$ est CM par un ordre maximal d'une extension $K$ cyclique, quartique, contenant $F$ et qui ont potentiellement bonne réduction partout. Une telle courbe aura donc presque toujours au moins une place de mauvaise réduction stable, alors que sa jacobienne a bonne réduction partout.

Les trois dernières décennies ont vu le développement de méthodes et algorithmes p-adiques, notamment : -la factorisation de polynômes rationnels par lemme de Hensel; -les algorithmes de comptage de points de Kedlaya et Lauder, reposant sur des résultats avancés de géométrie arithmétique; -le calcul d'isogénies entre courbes elliptiques. Dans toutes ces méthodes et algorithmes, on passe par des calculs sur les nombres p-adiques, et le problème de la gestion de la précision y est crucial. Avec Xavier Caruso et David Roe, nous avons développé une méthode, dite de précision différentielle, pour étudier et gérer la précision p-adique. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l'application de cette méthode pour l'étude du calculs d'isogénies entre courbe elliptique via la résolution de certaines équations différentielles p-adiques à variables séparables (travail en commun avec Pierre Lairez).

In analogy with the classical Artin Conjecture for primitive roots, in 1977, S. Lang and H. Trotter conjectured that, given an elliptic curve $E/\mathbb Q$ and a point $P\in E(\mathbb Q)$ of infinite order, the set of primes $p$ of good reduction for which $\langle P\bmod p\rangle = E(\mathbb F_p)$, has a density $\delta_{E,P}$. During this seminar we deal with the classification of curves and points for which $\delta_{E,P}=0$ by analyzing the action of $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ on the set $\frac1{\ell}P=\{Q\in E(\overline{\mathbb Q}): \ell Q=P\}$ where $\ell$ is prime.

L'étude des déformations des schémas en groupes finis et plats sur un corps local est un sujet central en théorie de Hodge $p$-adique. Le comportement de leur singularités nous fournit des critères pour décider si une représentation Galoisienne $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_n(\overline{\mathbf{Q}}_p)$, géométrique et residuellement modulaire, provient d'une forme automorphe. Le cas des déformations potentiellement Barsotti-Tate est désormais bien compris. En combinaison avec la correspondance de Langlands locale $p$-adique, cela a permis la preuve de plusieurs cas de la conjecture de Fontaine-Mazur sur les représentations Galoisiennes attachées aux motifs purs sur $\mathbf{Q}$. Dans cet exposé nous proposons un modèle local, raffinement avec monodromie du modèle local de Pappas-Rapoport, qui fournit une résolution des singularités pour les espaces des déformation Galoisiennes potentiellement et modérément cristallines. Ceci généralise la résolution de Kisin-Breuil dans le cas potentiellement Barsotti-Tate, avec des applications aux théorèmes de relèvement modulaires, aux conjectures de Serre et aux conjectures Breuil-Mézard. Ceci est un travail en commun avec Bao Viet Le Hung, Daniel Le et Brandon Levin.

La conjecture principale de la théorie d’Iwasawa des formes modulaires est une description conjecturale de la variation $p$-adique des valeurs $L(f,\chi,s)$ lorsque $s$ est un entier, $f$ une forme modulaire parabolique propre et que $\chi$ parcourt l’ensemble des caractères de Dirichlet d’ordre une puissance de $p$. Suite aux travaux de Kato, Skinner-Urban et Wan, de nombreux cas de cette conjecture sont connus pour les formes ordinaires ou de poids 2. Je présenterai un travail commun avec Xin Wan dans lequel nous montrons cette conjecture pour les formes modulaires dont la représentation galoisienne résiduelle est irréductible (et n’est pas d’un certain type en $p$).

La courbe modulaire complexe de niveau 1 porte une mesure de probabilité, induite par la mesure hyperbolique sur le demi-plan superior. Un théorème de Duke établi que les orbites sous Galois d'une suite de courbes elliptiques CM de discriminant fondamental qui tend vers moins l'infini s'equidistribuent suivant cette mesure. En utilisant que les orbites des points sous les correspondances de Hecke s'equidistribuent aussi par rapport à la même mesure, Clozel et Ullmo ont étendu le théorème de Duke pour les discriminants non fondamentaux. Habegger a utilisé ce principe pour démontrer que l'ensemble des modules singuliers (invariants j de courbes CM) qui sont des unités algébriques est fini. Nous montrerons une version p-adique des théorèmes d'équidistribution des points CM et des orbites de Hecke. La courbe modulaire sur les complexes p-adiques se divise trois lieux: ordinaire, supersingulier et de mauvaise réduction. Cette division est respectée par les correspondances de Hecke. La mesure limite dépend du lieu considéré. Le cas techniquement plus difficile est le lieu supersingulier, où nous devons démontrer un résultat de type Linnik p-adique. Comme application, nous obtenons que pour tout ensemble fini S de nombres premiers, l'ensemble des modules singuliers qui sont des S-unités est fini. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Sebastian Herrero et Juan Rivera-Letelier.

L'étude de la distribution des points rationnels sur les variétés algébriques est un sujet classique de la géométrie diophantienne. Nous verrons comment le travail de McKinnon et Roth sur l'approximation diophantienne des points rationnels peut être adapté à la formulation d'une distribution "plus fine" que celle globale, qui fait partie du programme de Batyrev-Manin-Peyre. Nous présenterons le résultat sur certaines variétés toriques et nous proposerons une formule asymptotique empirique.

For a $p$-adic field $K$, I will explain how to extend the results of Bhatt--Morrow--Scholze on the construction and the analysis of an $\mathbb A_{\mathrm{inf}}$-valued cohomology theory to the case of p-adic formal, proper $\mathcal{O}_{\overline{K}}$-schemes that are semistable. The resulting cohomology theory integrally relates the $p$-adic etale, logarithmic crystalline, and logarithmic de Rham cohomologies. I will show how to use it to reprove the semistable conjecture of Fontaine--Jannsen and to study canonical lattices in de Rham cohomology. This talk is based on joint work with Teruhisa Koshikawa.

Aux systèmes dynamiques d'origine arithmétique sont associés des fonctions zêta dynamiques. On regardera le beta-shift initié par Rényi et Parry et son utilisation comme point d'attaque du problème de la minoration de la mesure de Mahler (ou de la hauteur) de nombres algébriques. En particulier on considérera la Conjecture de Lehmer, la Conjecture de Schinzel-Zassenhaus et l'inéqualité de Dobrowolski par la dynamique.

We will talk about one potential method to generalize classical multiple zeta values (MZVs) to the case when the ground field $\mathbb{Q}$ is replaced by an arbitrary number field. The motivation behind our construction comes from the work of A. Goncharov on Hodge correlators and the plectic principle of J. Nekovář and A. Scholl. The starting point is to generalize the Hecke formula in order to produce suitable "secondary" arithmetic objects. The key construction is the higher plectic Green function. Replacing Eisenstein series in Hecke's formula by our higher plectic Green functions, a similar integration gives new results, namely the generalization of MZVs and multiple polylogarithms.

Parmi les invariants attachés au groupe abélien des formes modulaires à coefficients entiers et de poids donné, le plus simple à calculer est son rang. Mais lorsque l'on prend en compte la structure d'espace hermitien donnée par le produit scalaire de Petersson, d'autres quantité intéressantes émergent : le covolume du réseau, la norme minimale d'un élément non nul du réseau, etc. On replacera ce problème dans un contexte plus général et on apportera des éléments de réponse. Travail en collaboration avec C.Soulé et T.Chinburg.

Let $S$ be a connected Shimura variety and $V\subset S$ be a subvariety. The André-Oort conjecture asserts that $V$ contains a Zariski dense subset of CM points if and only if $V$ is itself a Shimura variety. Roughly speaking, this conjecture gives a description of the distribution of CM points in a Shimura variety. By using O-minimality in model theory, it is known that the André-Oort conjecture is true for Siegel modular varieties and is valid for all Shimura varieties under assuming General Riemann Hypothesis. In my talk, I will present a generalisation of this idea in describing the distribution of higher dimensional Shimura subvarieties. This is joint work with Christopher Daw.

L'exposé sera consacré à une version explicite de la conjecture de Manin-Mumford. Démontrée par Raynaud, cette conjecture décrit précisément l'adhérence de Zariski de la torsion des sous-variétés d'une variété abélienne. Dans un travail en commun avec César Martinez, nous donnons une version uniforme du théorème de Raynaud, où le degré des variétés de torsion maximales est borné précisément en fonction de la géométrie de la sous-variété. La preuve combine des techniques d'interpolation et un théorème de Serre sur les homothéties des représentations galoisiennes associées aux modules de Tate d'une variété abélienne.

As a concrete variant of motivic integration, we will discuss uniform p-adic integration and constructive aspects of results involved. Uniformity is in the $p$-adic fields, and, for large primes p, in the fields $\mathbb F_p((t))$ and all their finite field extensions. Using real-valued Haar measures on such fields, one can study integrals, Fourier transforms, etc. We follow a line of research that Jan Denef started in the eighties, with in particular the use of model theory to study various questions related to $p$-adic integration. A form of uniform $p$-adic quantifier elimination is used. Using the notion of definable functions, one builds constructively a class of complex-valued functions which one can integrate (w.r.t. any of the variables) without leaving the class. One can also take Fourier transforms in the class. Recent applications in the Langlands program are based on Transfer Principles for uniform $p$-adic integrals, which allow one to get results for $\mathbb F_p((t))$ from results for $\mathbb Q_p$, once $p$ is large, and vice versa. These Transfer Principles are obtained via the study of general kinds of loci, some of them being zero loci. More recently, these loci are playing a role in the uniform study of $p$-adic wave front sets for (uniformly definable) $p$-adic distributions, a tool often used in real analysis. This talk contains various joint works with Gordon, Hales, Halupczok, Loeser, and Raibaut.

La cohomologie l-adique a été construite pour fournir une cohomologie étale à coefficients dans un corps de caractéristique 0 afin, notamment, de donner via la formule des traces une interprétation cohomologique des fonctions L. Au lieu des coefficients l-adiques on peut considérer les coefficients dans les ultraproduits de corps finis. J'énoncerai le théorème fondamental de Weil II pour les courbes dans ce contexte et expliquerai brièvement quelles sont les difficultés à résoudre pour adapter la preuve de Deligne. Je donnerai également des applications aux modèles entiers (et à leur reduction modulo l'uniformisante) dans les systèmes E-rationnels compatibles de faisceaux l-adiques. Je montrerai en particulier que pour l suffisamment grand ces modèles sont uniques à isomorphisme près et que, lorsque la base est projective lisse, leur cohomologie est sans torsion. Ces résultats généralisent d'une part mes travaux avec Hui et Tamagawa sur les images directes supérieures de $\mathbb Z_\ell$ par un morphisme propre et lisse et, d'autre part, le théorème de Gabber sur la torsion dans la $\mathbb Z_\ell$-cohomologie d'une variété projective lisse.

The geometric Bogomolov conjecture asserts the following: Consider a smooth projective curve over a function field of genus more than one embedded into its Jacobian; if the curve is non-isotrivial, then it has only finitely many points of small canonical height. Recently, we have shown that this conjecture holds in full generality. In the proof, we use some partial results on a more general conjecture, called the geometric Bogomolov conjecture for abelian varieties. In this talk, reviewing the recent progress concerning this more general conjecture, we explain how the conjecture for curves is proved.

In 1980, Gross conjectured a formula for the expected leading term at $s=0$ of the Deligne--Ribet $p$-adic $L$-function associated to a totally even character $\psi$ of a totally real field $F$. The conjecture states that after scaling by $L(\psi \omega^{-1}, 0)$, this value is equal to a $p$-adic regulator of units in the abelian extension of $F$ cut out by $\psi \omega^{-1}$. In this talk we describe a proof of Gross's conjecture. This is joint work with Mahesh Kakde and Kevin Ventullo. If time permits, we will briefly describe joint work with Michael Spiess on a refinement of Gross's conjecture that gives a formula for the characteristic polynomial of the regulator matrix. This refined conjecture is still open.