Dans cet exposé, nous présenterons des résultats récents de stabilité quantitative pour l’inégalité de Brascamp–Lieb, autour de la variance associée à une mesure log-concave. Plusieurs démonstrations de cette inégalité sont connues dans la littérature. Les approches classiques reposent notamment sur le Γ-calcul de Bakry–Émery, tandis que d’autres, comme celle de Bobkov et Ledoux (2000), s’appuient sur l’inégalité de Prékopa–Leindler.
Nous expliquerons comment la version de stabilité quantitative optimale de l’inégalité de Prékopa–Leindler obtenue par Figalli, van Hintum et Tiba (2025) peut être combinée avec la théorie des mesures de moment afin de renforcer la stratégie de preuve de Bobkov–Ledoux. Cette approche permet d’établir une version de stabilité quantitative de l’inégalité de Brascamp–Lieb présentant plusieurs propriétés remarquables: optimalité de l’exposant de stabilité et constante ne dépendant que de la dimension.
En particulier, cette constante est universelle pour l’ensemble de mesures log-concaves à potentiels convexes essentiellement continus. Cette hypothèse minimale de régularité du potentiel convexe est optimale pour garantir la non-dégénérescence de la mesure de moment associée, comme l’ont montré Cordero-Erausquin et Klartag (2015). Nous discuterons également certaines idées montrant comment ce résultat peut être utilisé pour comprendre la stabilité quantitative des mesures de moment elles-mêmes, mettant en évidence les liens étroits entre ces deux problèmes. | 
