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Une méthode très efficace (due à Mukai) pour décrire des variétés de Fano est de considérer les lieux de zéros de sections générales de fibrés sur un produit de variétés de drapeaux. Dans un travail en collaboration avec Fatighenti, Manivel et Tanturri, on exploite des logiciel de caclul formel pour produire un nombre important de variétés de Fano de dimension 4, parmi lesquelles on trouve 64 familles distinctes de variété de type K3. Une analyse détaillée de tous ces exemples montre que les variétés en question sont géométriquement associées à des cas déjà connus : des hypersurfaces cubiques, des variétés de Gushel'-Mukai ou encore des surfaces K3.
Loin d'être une simple liste d'exemples, ces familles sont souvent liées entre elles (ou avec d'autres variétés de Fano) par des correspondences birationnelles qui sont décrites explcitement via des techniques d'algèbre linéaire. L'étude de toutes les variétés produites dans la base de données est donc une étape supplémentaire naturelle.
Dans cet exposé, je présenterai les grandes lignes du projet en cours et des exemples explicites. |
