Séminaires : Séminaire de géométrie algébrique

Abstract: Let X be an n-dimensional smooth projective Fano hypersurface, where n is at least 3. Suppose X contains Z, a k-dimensional smooth projective hypersurface in P^{k+1}, where k is at least 1. We give a constructive proof that Y - the blowup of X along Z - is a Mori dream space. In particular, we describe its Mori chamber decomposition and the associated birational models of Y. This is joint work with L. Campo and E. Paemurru.

Abstract: We explain about some general construction of affine CY varieties with complete Ricci-flat Kahler metrics and its applications.

it is a question of great interest to construct meaningful compactifications for the moduli of algebraic varieties of a specified type. For varieties of general type, and  Fano type a fairly complete understanding of the compactification problem was obtained recently via the KSBA theory and respectively K-theory. The remaining case, that of K-trivial varieties turns out to be particularly challenging and the same time very interesting. After reviewing what we know in this case (especially new results, due to Alexeev-Engel for K3 surfaces), I will propose a canonical minimal compactification for the K-trivial case and discuss some evidence towards it. (Versions of this conjecture previously occur in work of Ambro/Fujino/Shokurov, Odaka, and respectively GGLR)

The point of view taken here is that of Hodge theory.

The talk is based on some joint work with R. Friedman. It is also closely related to joint work  with Kollár,  Saccà, Voisin [KLSV18] and respectively Green, Griffiths, and Robles [GGLR20].

Abstract: 
Given a line bundle L on a family of curves C, smooth and proper over a base scheme S, it is natural to study the locus of points of S where L is trivial. When one tries to extend to a family of stable curves, this ends up naturally yielding a cycle, not on S itself, but rather on a (log) blowup of S. One can choose to push down to S, but for some purposes the cycle on the blowup is the more fundamental object. I will describe two ways to compute the resulting class, known as the logarithmic double ramification cycle. This is joint work with Alessandro Chiodo

Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur l'existence d'isogénies entre puissances de variétés abéliennes très générales, de jacobiennes des courbes, et de jacobiennes intermédiaires de solides cubiques. Je discuterai des applications concernant la conjecture de Coleman-Oort, ainsi que la conjecture de Hodge entière pour les variétés abéliennes. Il s'agit d'une collaboration avec Stefan Schreieder.
 

L'exposé sera aussi diffusé par ZOOM:<a href="https://u-paris.zoom.us/j/87030832332">870 3083 2332</a>, demander le mot de passe à Olivier Benoist, Olivier Debarre ou Frederic Han, ou inscrivez vous sur la <a href="https://listes.services.cnrs.fr/wws/subscribe/sem-ga.paris">liste de diffusion</a>

L'exposé sera aussi diffusé par ZOOM:<a href="https://u-paris.zoom.us/j/87030832332">870 3083 2332</a>, demander le mot de passe à Olivier Benoist, Olivier Debarre ou Frederic Han, ou inscrivez vous sur la <a href="https://listes.services.cnrs.fr/wws/subscribe/sem-ga.paris">liste de diffusion</a><br>Abstract:I will survey recent results that characterize the equality cases in these fundamental inequalities arising from the Hodge-Riemann relations.

L'exposé sera aussi diffusé par ZOOM:<a href="https://u-paris.zoom.us/j/87030832332">870 3083 2332</a>, demander le mot de passe à Olivier Benoist, Olivier Debarre ou Frederic Han, ou inscrivez vous sur la <a href="https://listes.services.cnrs.fr/wws/subscribe/sem-ga.paris">liste de diffusion</a><br>Abstract: Dans cet exposé, j'étudie l'espace des métriques positives sur un fibré en droites ample, du point de vue de la géométrie métrique. Il est connu depuis les travaux de Mabuchi, Chen et Sun que cet espace est géodésique et à courbure négative. Dans les espaces à courbure négative, une question naturelle est celle de l'existence de sous-espaces plats - généralisant la notion de géodésique, qui fournit un exemple de plat de dimension 1. J'expliquerai comment, dans un travail en commun avec David Witt Nyström, il est possible de construire des sous-espaces plats de dimension infinie dans l'espace des métriques positives.

Abstract: The Green-Lazarsfeld Secant Conjecture is a generalization of Green's Conjecture on syzygies of canonical curves to the cases of arbitrary line bundles. It predicts that on a curve embedded by a line bundle of sufficiently high degree, the existence of a p-th syzygy is equivalent to the existence of a certain secant to the curve. I will discuss the history of this problem, then establish the Green-Lazarsfeld Secant Conjecture for curves of genus g in all the divisorial cases, that is, when the line bundles that satisfy the corresponding secant condition form a divisor in the Jacobian of the curve.

 

Abstract : Dans cet exposé, on présente une propriété de différentiabilité pour la fonction de volume sur les espaces de Berkovich sur un corps non-Archimédien quelconque. Ce résultat s'appuie sur des travaux récents de Boucksom-Gubler-Martin et s'inspire de techniques utilisées dans un travail de Witt-Nÿstrom dans le cas complexe. On utilisera des techniques de théorie du pluripotentiel sur les espaces de Berkovich ainsi que la théorie des corps d'Okounkov.

Résumé: Cette étude se concentre sur les relations entre les trois types de déformations de variétés hyperkählériennes de dimension 6 bien connues : K3^[3], Kummer-3 et OG6. D'une part, à partir d'une variété de type OG6 singulière, Mongardi, Rapagnetta et Saccà ont construit un revêtement double rationnel de type K3^[3]. D'autre part, à partir d'une variété de type Kummer-3, Floccari a récemment découvert une construction produisant une variété de type K3^[3]. Nous démontrons que, à équivalence birationnelle près, ces deux constructions conduisent à la même classe de variété de type K3^[3], et on peut la caractériser en termes de réseaux. Comme applications, je présenterai quelques conséquences concernant les cycles algébriques. Il s'agit d'un travail en cours réalisé en collaboration avec S. Floccari.
 

This tool is extremely useful in studying groups of birational self-maps of algebraic varieties. In this talk, I will first discuss some recent results and open questions in the Sarkisov program for algebraic surfaces over non-closed fields (including Severi-Brauer surfaces). Then I will show how these results imply some spectacular properties of higher Cremona groups. Based on joint works with J. Blanc and J. Schneider.

Résumé: It is well-known that the Teichmüller space of a compact real surface  can be identified with a connected component of the moduli space of representations of the fundamental group of the surface in PSL(2,R). Higher Teichmüller spaces are generalizations of this for certain  non-compact real Lie groups of higher rank. Exploiting the non-abelian Hodge correspondence, relating to Higgs bundles over a Riemann surface, and the more recently obtained Cayley correspondence, we address the study of the topology of higher Teichmüller spaces. In particular, we will compute the intersection cohomology of certain singular higher Teichmüller spaces.
 

Résumé: Je présenterai un travail en commun avec B. Bakker et C. Lehn. Le théorème de décomposition de Beauville-Bogomolov affirme qu'une variété kählerienne compacte à première classe de Chern nulle est un quotient étale d'un produit de tores, de variétés de Calabi-Yau irréductibles et de variétés symplectiques holomorphes irréductibles. En lien avec le programme des modèles minimaux, ce théorème a été généralisé aux variétés projectives à singularités log terminales relativement récemment par Höring-Peternell, et j'expliquerai comment le cas kählerien singulier peut se déduire du cas projectif à l'aide de déformations et d'outils d'analyse.

A cohomology class of a smooth complex variety of dimension n is said to be of coniveau at least c if it vanishes on the complement of a closed subvariety of codimension at least c, and of strong coniveau at least c if it comes about by proper pushforward from the cohomology of a smooth variety of dimension at most n–c. The notions of coniveau and strong coniveau each define a filtration on the cohomology groups of a variety, and these filtrations are known to coincide in many cases. In the talk, I will explain a construction of some new examples where the filtrations differ, which are found in joint work with J. V. Rennemo.

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Abstract: H-entropy (H-invariant) is a quantity for test configurations/filtrations/NA metrics of a Fano variety X. Its maximization detects Chen-Sun-Wang’s degeneration of X to a modified K-semistable Fano variety, which is constructed along the limit of Kahler-Ricci flow.

While H-entropy makes sense only for Fano variety like Ding invariant, there is another quantity called mu-entropy which makes sense for general polarized variety like Mabuchi invariant and whose maximization detects the same degeneration as for Fano variety.

After showing some results which motivate us to find a maximizer of mu-entropy for general polarized variety, I will explain my attempt to apply non-archimedean method to this maximization problem. In the story, we introduce a new measure on Berkovich space peculiar to trivially valued case, which I call moment measure.

Abstract: In the talk I will explain the general structure
of Hilbert schemes of quadrics (of dimension 0, 1, and 2) on
smooth Gushel-Mukai varieties (of dimension 2 \le n \le 6),
and some explicit examples of these schemes. This is a joint
work in progress with Olivier Debarre.

 Abstract. We consider Lagrangian fibrations by abelian surfaces over the complex projective plane, with total space holomorphic symplectic manifolds and orbifolds. There are examples whose fibres are (1,d) polarized for d=1 to 4. We recall some classification results of Markushevich and Kamenova in the principally polarized case, and a new classification result in the (1,2) polarized case (joint work with Xuqiang Qin). We also describe restrictions on the polarization; indeed, `most' polarizations are not possible.

Abstract:The construction of stability conditions on the bounded derived
category of coherent sheaves on smooth projective varieties is
notoriously a difficult problem, especially when the canonical bundle
 is trivial. In this talk, I will illustrate a new and very effective
 technique based on deformations. A key ingredient is a general result
 about deformations of bounded t-structures (and with some additional
and mild assumptions). Two remarkable applications are the
 construction of stability conditions for very general abelian
 varieties in any dimension and for some irreducible holomorphic
 symplectic manifolds, again in all possible dimensions. This is joint
 work with C. Li, E. Macri' and X. Zhao.

Abstract: In the context of polarized abelian varieties, Zhi Jiang and Giuseppe Pareschi have introduced the cohomological rank functions associated to a (complex of) coherent sheaves. These functions are closely related to the continuous rank functions introduced previously by Miguel Angel Barja, and studied together with Rita Pardini and Lidia Stoppino in the context of irregular varieties. 
I will present joint work with Andrés Rojas that show that, in the case of abelian surfaces, Bridgeland stability provides an alternative description of the cohomological rank functions. This helps to understand their general structure, and allows to compute geometrically meaningful examples. I will illustrate the potential of this reinterpretation by presenting new results on syzygies of abelian surfaces proven by Andrés Rojas.

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Résumé: This talk will describe recent joint work with Radu Laza on deformations of generalized Fano and Calabi-Yau varieties, i.e. compact analytic spaces whose dualizing sheaves are either duals of ample line bundles or are the trivial line bundle. Under the assumption of isolated hypersurface canonical singularities, we extend results of Namikawa and Steenbrink in dimension three and discuss various generalizations to higher dimensions.

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On a Fano variety, the Yau-Tian-Donaldson correspondence connects the existence of Kähler-Einstein metrics to an algebro-geometric notion called K-stability. In the last decade, the latter has proved to be very valuable in Algebraic Geometry: for instance, it is used for the construction of moduli spaces. In the first part of the talk, partly motivated by the study of Kähler-Einstein metrics with prescribed singularities, a new relative K-stability notion will be introduced for a fixed smooth Fano variety. A particular focus will be given to motivations and intuitions, making a comparison with the log K- stability/log Kähler-Einstein metrics. The relative K-stability and the Kähler-Einstein metrics with prescribed singularities will then be related to each other through a Yau- Tian-Donaldson correspondence, which will be the core of the talk. An important role will be played by algebro-geometric valuative criteria, which will be also used to link the relative K-stability to the genuine K-stability.

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Résumé : Let X be a complex projective surface. A real form of X is a real projective variety W, whose Cartesian product with SpecC over SpecR recovers X.Two real forms are considered isomorphic if they are isomorphic over SpecR. A natural question is to ask how many non-isomorphic real forms can be attributed to a fixed complex projective variety X: In particular, are there finitely many ? As soon as X admits at least one real form, this question boils down to counting non-conjugate involutions in a group naturally associated to X. In this talk, we emphasize two aspects of this counting problem: We first explain why varieties satisfying the Kawamata-Morrison cone conjecture (such as K3 surfaces, Enriques surfaces, abelian surfaces) have finitely many real forms; we then describe a smooth blow-up of an Enriques surface at one point,which is endowed with infinitely many real forms.

This is joint work with Tien-Cuong Dinh, Hsueh-Yung Lin, Keiji Oguiso, Long Wang, and Xun Yu.
 

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Abstract:

What is the smallest genus h of a non-isotrivial curve over the generic genus g curve?

In joint work with Daniel Litt, we show h is more than $\sqrt{g}$ by proving a more general result about local systems on sufficiently general curves.

As a consequence, we show that local systems on a sufficiently general curve of geometric origin are not Zariski dense in the character variety parameterizing such local systems. This gives counterexamples to conjectures of Esnault-Kerz and Budur-Wang.

!!!Attention Horaire Exceptionnel: 16h!!

Donc l'exposé sera  uniquement par ZOOM:870 3083 2332, demander le mot de passe à Olivier Benoist, Olivier Debarre ou Frederic Han, ou inscrivez vous sur la liste de diffusion

Résumé: Every abelian variety is a quotient of a Jacobian, but to quantify that seems very difficult: Given an abelian variety A of dimension g over a field K, what is the smallest dimension C_K(g) such that A is a quotient of a Jacobian of dimension C_K(g) (Or equivalently, admits a map from a smooth curve of that genus).

This question is extremely difficult even over C, where we have polynomial lower bounds and super-exponential upper bounds on C_K(g). Over a countable field like Qbar things become even more difficult. Conjecturally, one would expect that C_K(g) should be the same for K=C or K=Qbar, but even showing that there are abelian varieties over Qbar not isogenous to Jacobians  (i.e. that C_{Qbar}(g)>g) was unknown for a long time. We present a proof that C_{Qbar}(g)>=2g (for g>=5, C_{Qbar}(4)=7) . We explain how to interpret this question in the framework of unlikely-intersections, and the ideas that go into the proof. The proof follows the by-now familiar Pila-Zannier method, using the latest results on the Zilber-Pink conjecture, and the main new ingredient is a new lower bound on certain Galois orbits.

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Résumé: Borel et Haefliger s'étaient demandé si les classes de cohomologie algébriques de variétés projectives lisses complexes étaient combinaisons linaires de classes de sous-variétés lisses. Harthorne, Rees et Thomas ont montré que la réponse à cette question est négative en général. Le but de cet exposé est de présenter de nouveaux contre-exemples, certains en dimension 6 (la plus petite possible), sur des Jacobiennes de courbes. Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Debarre.

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l'exposé sera aussi diffusé par ZOOM: https://u-paris.zoom.us/j/87030832332 , demander le mot de passe à Olivier Benoist, Olivier Debarre ou Frederic Han, ou inscrivez vous sur la <a href="https://listes.services.cnrs.fr/wws/subscribe/sem-ga.paris">liste de diffusion</a><br>Abstract: Algebro-geometers have made a remarkable progress in the study of K-stability of log Fano pairs and constructed their K-moduli in ten years. On the other hand, K-moduli is also constructed for the K-ample case (so-called KSBA moduli) and the Calabi-Yau case (but the moduli is not compact in this case). Nevertheless, moduli spaces parametrizing more general klt polarized K-stable varieties have not been constructed yet. In this talk, we consider ``adiabatic’' K-stability of Calabi-Yau fibrations over curves (e.g., good minimal models with $\kappa(X)=1$, rational elliptic surfaces, etc.) and try constructing ``adiabatic’' K-moduli. First, we treat boundedness for such fibrations. Here, we only use a certain assumption on the volume of a general fiber. Furthermore, we construct moduli spaces of polarized uniformly adiabatically K-stable klt-trivial fibrations over curves by applying this boundedness and the criterion for uniform adiabatic K-stability. This talk is based on a joint work with Kenta Hashizume.|

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Au début des années 90, M. Gromov a introduit la notion de variété Kähler hyperbolique et en a étudié les propriétés fondamentales. Entre autre, ces variétés sont projectives de type général et hyperboliques au sens de Kobayashi.
Motivés par une conjecture de Lang qui impliquerait que toute sous-variété (lisse ou non) d’une variété Kähler hyperbolique est de type général, nous allons introduire une variante de la notion de Gromov, à savoir les variétés faiblement Kähler hyperboliques, et décrire un résultat de trou spectral pour ces variétés, qui étend les résultats de Gromov.
Ceci implique qu’une variété faiblement Kähler hyperbolique est également projective de type général  et a comme corollaire la conjecture de Lang pour les variétés Kähler hyperboliques.
Pour terminer, nous  expliquerons comment prouver qu’une variété faiblement Kähler hyperbolique satisfait la conjecture de Green-Griffiths.
Travail en collaboration avec F. Bei, P. Eyssidieux, et S. Trapani.

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Le corps de Newton-Okounkov d'un diviseur gros D sur une varieté projective X est un convexe de R^n représentant le comportement asymptotique de l'ensemble des sections globales H^0(X,mD) quand m tend vers l'infini. Ainsi par exemple, le volume (dans R^n) du corps de Newton-Okounkov de D est n! fois le volume du diviseur D. Lehmann et Xiao ont défini des notions de volume pour les courbes duales de la notion de volume pour les diviseurs. En s'appuyant sur ce même papier, nous verrons qu'il est également possible de construire des corps de Newton-Okounkov pour les courbes de volume multiple du volume de la courbe initiale. Enfin, cette construction permet d'établir une nouvelle conjecture sur les corps de Newton-Okounkov.

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Les techniques de recollement sont désormais devenues un outil important pour l'étude de certains principes locaux--globaux. Ces derniers ont comme but d'examiner l'existence de points rationnels sur des variétés. Typiquement, avec le recollement on arrive à traiter des variétés définies sur le corps de fonctions d'une courbe. Dans cet exposé je présenterai une adaptation de ces techniques aux espaces analytiques de Berkovich. On verra comment ceci permet d'élaborer une stratégie pour s'attaquer au cas de la dimension supérieure, ainsi que quelques résultats que l'on peut obtenir dans cette direction. Les notions principales utilisées seront introduites en début d'exposé.

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Abstract: Dans cet exposé issu d'un travail en commun avec Charles Favre, je vais expliquer comment on peut mettre une topologie sur les b-diviseurs afin à la fois d'étendre continument  le produit d'intersection de diviseur, d'obtenir une version du théorème d'indice de Hodge pour les b-diviseurs et de donner des critères de compacités. En guise d'application on verra que ces résultats sont utilisés pour contruire des b-diviseurs invariants par pullback par des applications rationnelles.    

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Résumé : Etant donné un espace générique de dimension d de matrices symétriques de taille n, quel est le degré de la variété qui paramètre leurs inverses ? Répondre à cette question apparemment très simple requiert de bien comprendre la variété des quadriques complètes et son anneau de Chow. Le résultat confirme des conjectures de Sturmfels et ses collaborateurs.
 

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ABSTRACT:
The study of the Kodaira dimension of moduli spaces is a classical topic in geometry, which is related in interesting ways with the geometry of the objects which are parametrized by the moduli space. In a joint work with I. Barros, E. Brakkee and L. Flapan, we use techniques of Gritsenko-Hulek-Sankaran involving the Borcherds modular form to determine a bound on the degree of the polarization beyond which the moduli spaces of some polarized hyperkähler manifolds are all of general type. In this talk we explain the strategy we followed and we determine explicitly our bound in some cases. We also present new examples of unirational moduli spaces of polarized hyperkähler manifolds.

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Résumé. Un feuilletage de codimension 1 sur une variété projective X peut être vu comme un sous faisceau (saturé) F du fibré tangent TX, F étant stable par le crochet de Lie. Si l'on fixe le déterminant de F, l'ensemble des ces feuilletages est une partie localement fermée de l'espace des 1-formes sur X à valeurs dans un fibré en droites L.
On étudiera l'espace de ces feuilletages lorsque X est une variété rationnelle homogène de nombre de Picard 1, pour le choix le plus simple possible de L, notamment lorsque X est une grassmannienne ou plus généralement une variété cominuscule. Travail en collaboration avec V. Benedetti et A. Muniz.

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Résumé: Les familles lagrangiennes sont des généralisations naturelles des fibrations lagrangiennes dans une variété hyper-kähérienne. Dans cet exposé, on va donner un critère pour l'annulation de l'application d'Abel--Jacobi d'une famille lagrangienne. En utilisant ce critère, on va

*D'une part, montrer que sous certaines conditions topologiques sur les fibres d'une famille lagrangienne, l'application d'Abel--Jacobi est nulle. 

*D'autre part, construire des familles lagrangiennes dans les variétés de Kummer généralisées dont l'application d'Abel--Jacobi n'est pas nulle, relevant la subtilité d'une conjecture de Voisin sur les cycles coisotropes.

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Résumé: Soit  C  une courbe de genre  > 2, plongée dans sa jacobienne  JC . Le cycle   [C] - [(-1)*C]  dans  JC  est homologiquement trivial; est-il algébriquement équivalent à zéro? La réponse est négative pour  C  générale (Ceresa, 1983), mais positive (trivialement) pour  C  hyperelliptique. Je vais expliquer un exemple, obtenu avec C. Schoen, d'une courbe non-hyperelliptique pour laquelle  [C] - [(-1)*C]  est de torsion modulo équivalence algébrique. Un ingrédient crucial est l'existence d'un groupe d'automorphismes  G  de  C  tel que le quotient  JC/G  soit uniréglé; je montrerai que cette situation est assez exceptionnelle, et ne se produit pas pour  g(C) > 20.

Abstract: Quartic double solids and Gushel-Mukai threefolds are examples of prime
Fano threefolds known to share many numerical properties. In the talk I will explain
how one can construct a smooth and proper over the base family of triangulated categories
with special fiber the nontrivial component of the derived category of a quartic double solid
and general fiber the nontrivial component of the derived category of a Gushel-Mukai threefold.
As a consequence one obtains smooth families of Fano surfaces and intermediate Jacobians
of these threefolds. This is a joint work in progress with Evgeny Shinder.

The derived category of coherent sheaves on a Fano variety determines it uniquely by a theorem of Bondal and Orlov. If X is a Fano hypersurface in a projective space, its derived category has an interesting subcategory called "Kuznetsov component" or "residual category". Huybrechts and Rennemo showed that this subcategory, together with a certain autoequivalence, determines the hypersurface if the degree divides dim(X)+2. I will explain a generalization of that theorem that gets rid of the divisibility condition and works for any degree.

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Abstract: Given a smooth projective variety, it is natural to ask (1) How can we determine when it is rational? and (2) If it is not rational, can we measure how far it is from being rational? When the variety is a smooth hypersurface in projective space, these questions have attracted a great deal of attention both classically and recently. An interesting case is when the degree of the hypersurface is at most the dimension of the projective space (the "Fano" range). In joint work with David Stapleton, we show that smooth Fano hypersurfaces of large dimension can have arbitrarily large degrees of irrationality, i.e. they can be arbitrarily far from being rational.

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The notion of ample subscheme can be traced back to the work of Hartshorne and was recently formalized by Ottem. In this talk, I will discuss an extension of the Grothendieck-Lefschetz theorem to ample subvarieties and some applications to abelian varieties. I will then address a conjecture of Sommese on the extension of fiber structures from an ample subvariety to its ambient variety. Using cohomological methods, I will outline a solution of the conjecture which relies on strengthening the positivity assumption in a suitable arithmetic sense; the same methods can be applied to verify the conjecture in special cases. A different approach based on deformation theory of rational curves leads to a proof of the conjecture for smooth fibrations with rationally connected fibers and a classification theorem for projective bundles and quadric fibrations. The talk is based on joint work with Chung Ching Lau.

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Résumé : J’exposerai un travail en collaboration avec M. Kapustka, P. Pokora et G. Mongardi portant sur la décomposition de Boucksom-Zariski sur les variétés IHS. D’une part nous étendons la décomposition aux variétés avec singularités symplectiques. D’autre part, dans le cas projectif, nous démontrons (en analogie avec le cas des surfaces) que l’existence d’une borne sur les dénominateurs des décompositions de Boucksom-Zariski est équivalente à l’existence d’une borne inférieure pour les carrés (par rapport à la forme quadratique de Beauville-Bogomolov-Fujiki) des diviseurs premiers. Nous en déduisons une borne explicite sur les dénominateurs des décompositions de Boucksom-Zariski des 4 types de déformations connus. Par des méthodes standards on obtient comme corollaire un résultat de birationnalité effective pour tout fibré en droites big et effectif sur une variété IHS projective.

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We show that there is no family of Enriques surfaces over the ring of integers. This extends non-existence results of Minkowski for families of finite étale chemes, of Tate and Ogg for families of elliptic curves, and of Abrashkin and Fontaine for families of abelian varieties and more general smooth proper schemes with certain restrictions on Hodge numbers. Our main idea is to study the local system of numerical classes of invertible sheaves. Among other things, our result also hinges on the Weil Conjectures, Lang's classification of rational elliptic surfaces in characteristic two, the theory of exceptional Enriques surfaces due to Ekedahl and Shepherd-Barron, some recent results on the base of their versal deformation, Shioda's theory of Mordell--Weil lattices, and an extensive combinatorial study for the pairwise interaction of genus-one fibrations.

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I will discuss research done in collaboration with J.C. Naranjo and G.P. Pirola on the subsets V_k (A) of a complex abelian variety A consisting of the points x ∈ A such that the zero-cycle {x} − {0_A } is k-nilpotent with respect to the Pontryagin product in CH_0 (A). These sets were introduced by Voisin in Chow rings and gonality of general abelian varieties, Ann. H. Lebesgue, I (2018). She showed that dim V_k (A) ≤ k − 1 and this dimension is zero for a general abelian variety of dimension at least 2k − 1.
We study in particular the locus V_{g,2} in the moduli space of abelian varieties of dimension g with a fixed polarization of the A for which V_2 (A) is positive dimensional and we prove
Theorem Let g ≥ 3 and consider an irreducible subvariety Y ⊂ V g,2 such that for a very general A ∈ Y there is a curve in V_2 (A) generating A. Then dim Y ≤ 2g − 1. The hyperelliptic locus shows that this bound is sharp.

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We will show that the homological monodromy of the universal family of cubic threefolds, which takes values in the symplectic group Sp(10,Z), does not factor through the standard symplectic representation of the genus five mapping class group. We will explain why this is philosophically related to the well-known irrationality of cubic threefolds, and how it fits into a family of related questions which may be of interest in geometric group theory.

Dans cet exposé, je présenterai deux théories énumératives provenant d'une variation de la condition de stabilité GIT. L'un d'eux est la théorie de Gromov-Witten d'une intersection complète de Calabi-Yau; l'autre est une théorie d'une famille de singularités isolées fibrées sur une droite projective, développée récemment par Fan, Jarvis et Ruan. Je montrerai que ces deux théories sont équivalentes après la prolongement analytique. Pour les intersections complètes de Calabi-Yau de deux cubiques, je montrerai que cette équivalence est directement liée - via caractère de Chern - aux équivalences entre la catégorie dérivée des faisceaux cohérents et celle des factorisations matricielles des singularités. Cela généralise le théorème de Chiodo-Iritani-Ruan qui relie équivalences d'Orlov à la correspondance quantique de LG/CY pour les hypersurfaces.

In the first part of this talk, I give a complete description of the divisorial
part of the base locus of big and nef line bundles on irreducible symplectic
varieties (under certain conditions). This is a generalization of well-known
results of Mayer and Saint-Donat for K3 surfaces. In the second part, I will
present what is currently known on the non-divisorial part, including the
results of an ongoing cooperation with Daniele Agostini.

Abstract: Subvarieties of Grassmannians (and especially Fano varieties)
obtained
from section of homogeneous vector bundles are far from being
classified. A case of particular interest is given by the Fano varieties
of K3 type (FK3), for their deep links with hyperkähler geometry. In
this talk we will present some examples of recently discovered FK3
varieties, and a general procedure that allows us to spread a (Hodge) K3
structure as a component of the Hodge structure of different varieties.
This is in collaboration with Giovanni Mongardi and Marcello
Bernardara--Laurent Manivel.

Résumé: According to Kuznetsov Conjecture, in the moduli space of cubic
fourfolds
there exist infinitely many irreducible divisors (cubics of “admissible
discriminant d” in the sense of Hassett),
whose union should be  the locus of rational cubic fourfolds.
Via the construction of the Trisecant Flops and via the theory of the
congruences of $3e-1$-secant curves
of degree $e$ to surfaces in P5, we shall explain the role played by
“associated" (non minimal) K3 surfaces
in various rationality questions regarding cubic and Gushel-Mukai fourfolds.
As an application we shall present uniform proofs of the cases d=14, 26, 38
and 42 of the Conjecture,
classically known only for d=14 (Fano, 1943), and discuss further possible
developments of this
circle of ideas.
This is joint work with Giovanni Staglianò.

Résumé : Since moduli of sheaves on K3 surfaces play a key role in Algebraic
Geometry, and since K3's are the two dimensional
hyperkähler (HK) manifolds, it is natural to investigate moduli of sheaves on
higher dimensional HK's.  We propose to focus
attention on (coherent) torsion free sheaves on a HK variety X whose
discriminant in H^4(X) satisfies a certain condition. These are the modular
sheaves
of the title. For example a sheaf whose discriminant  is a multiple of c_2(X)
is modular.
 For HK's   which are deformations of the Hilbert square of a K3 we prove an
existence and uniqueness result for  slope-stable vector bundles with
certain ranks, c_1 and c_2.  As a consequence we get uniqueness up to
isomorphism of the tautological quotient rank 4 vector bundle on the variety
of lines on a generic cubic 4-dimensional hypersurface, and on the
Debarre-Voisin variety associated to a generic  skew-symmetric 3-tensor
in 10 variables. The last result implies that the period map from the moduli
space of Debarre-Voisin varieties to the relevant period space is birational.

For a finite subgroup G of SL(2,C) and for n \geq 1,  the Hilbert
scheme X=Hilb^[n](S) of n points on the minimal resolution S of the Kleinian
singularity C^2/G provides a crepant resolution of the symplectic quotient C^
{2n}/G_n, where G_n is the wreath product of G with S_n. I'll explain why every
projective, crepant resolution of C^{2n}/G_n is a quiver variety, and why the
movable cone of X can be described in terms of an extended Catalan hyperplane
arrangement of the root system associated to G by John McKay. These results
extend the algebro-geometric aspects of Kronheimer's hyperkahler description of
S to higher dimensions. This is recent joint work with Gwyn Bellamy.

Chern numbers are basic invariants of complex Kähler manifolds. It is an open problem to determine to which extend they are determined by purely topological data.  We will report on recent results on such question, focusing in particular on the three dimensional case.

Suivant les travaux de Voisin, les variétés stablement rationnelles admettent
une décomposition de la diagonale. Trouver une obstruction à ce critère pour
les dégénérescences a mené à la preuve de la non rationalité stable dans de
nouveaux cas grâce aux travaux de Voisin, Colliot-Thélène/Pirutka, Totaro,
Schreieder et autres.

Dans ce travail en commun avec Christian Böhning et Hans-Christian von Bothmer,
nous développons le critère de Voisin afin de le rendre applicable à
des dégénérescences semistables. Nous construisons des anneaux prelog de Chow
de la fibre centrale où une décomposition de la diagonale se spécialise et nous
décrivons un schéma de calcul pour ces anneaux en terme des anneaux de Chow des
composantes de la fibre centrale.

La méthode est particulièrement bien adaptée aux cas des hypersurfaces de bas
degrée. En guise d'exemple, nous calculons l'anneaux prelog Chow (saturé
numérique) d'une modification semistable de la famille produit
d'une dégénérescence semistable de cubiques de dimension 3.

Tautological zero cycles form a one-dimensional subspace of the set of all algebraic zero-cycles on the moduli space of stable curves. The full group of zero cycles can in general be infinite-dimensional, so not all points of the moduli space will represent a tautological class. In the talk, I will present geometric conditions ensuring that a pointed curve does define a tautological point. On the other hand, given any point Q in the moduli space we can find other points P_1, ..., P_m such that Q+P_1+ ... + P_m is tautological. The necessary number m is uniformly bounded in terms of g,n, but the question of its minimal value is open. This is joint work with Rahul Pandharipande.

Bogomolov and Mumford proved that every complex projective K3 surface contains a rational curve. Since then, a lot of progress has been made by Bogomolov, Chen, Hassett, Li, Liedtke, Tschinkel and others, towards the stronger statement that any such surface in fact contains infinitely many rational curves. In this talk I will present joint work with Xi Chen and Christian Liedtke completing the remaining cases of this conjecture, reproving some of the main previously known cases more conceptually and extending the result to arbitrary genus.

Abstract: We discuss various notions of differential forms on singular complex
spaces, present a Hartogs-type extension theorem for differential forms on a
resultion of singularities and explain their use in the study of minimal
varieties. We survey a number of applications, pertaining to classification
and characterisation of special varieties, non-Abelian Hodge Theory in the
singular setting, and quasi-étale uniformization.

The extension results are joint with with Christian Schnell.

I will report on joint work with M. de Cataldo and A. Rapagnetta, in which we compute the Hodge numbers of the 10-dimensional hyperkähler manifold known as OG10. This is done by comparing the cohomology of OG10 with the cohomology of certain HK manifolds of K3^[n]-type, which is known. For this we use Ngô's support theorem applied to several Lagrangian abelian fibrations appearing naturally in the picture. In the first lecture I will give an overview of the arguments, while in the second one I will give more details.

Les dernières années ont vu un intérêt renouvelé pour les mesures d'irrationalité des variétés projectives. Alors que des méthodes utilisant la positivité des fibrés vectoriels on été utilisées par Bastianelli, de Poi, Ein, Lazarsfeld et Ullery pour étudier le degré d'irrationalité et la gonalité de recouvrement d'hypersurfaces projectives de haut degré, Voisin a fait appel à l'équivalence rationnelle des zéro-cycles pour montrer que la gonalité de recouvrement d'une variété abélienne très générale de dimension g croît à l'infini avec g. Je vais esquisser comment la méthode de Voisin peut être généralisée pour prouver la conjecture suivante: Une variété abélienne très générale de dimension au moins 2k-1 a une gonalité de recouvrement plus grande ou égale à k. Si le temps le permet, j'expliquerai comment cette méthode fournit de nouvelles bornes inférieures pour d'autres mesures d'irrationalité pour les variétés abéliennes très générales.