La prochaine (demi-)journée de l'équipe TGA aura lieu le lundi 9 décembre prochain, de 14h à 18h à Jussieu (salle 1525-502).

Elle consistera en une série d'exposés de nouveaux membres de l'équipe (Yonatan Harpaz, Mirko Mauri, Enrica Mazzon, Manh Linh Nguyen, et Victor Roca Lucio), et sera suivie d'un apéritif dînatoire.

• Yonatan Harpaz (14h-14h30) : Homotopy symmetric hermitian K-theory
  Hermitian K-theory is a type of cohomology theory on rings and schemes similar to algebraic K-theory, where instead of projective modules one takes quadratic forms. The latter are considerably more tractable when working over base rings in which $2$ is invertible. For example, under this assumption the work of Hornbostel and Schlichting shows that hermitian K-theory satisfies A^1-invariance, devissage and purity over regular Noetherian schemes, properties which do not hold in general when 2 is not invertible. In this talk I will present joint work with Baptiste Calmès and Denis Nardin showing that, for regular Noetherian schemes of finite Krull dimension, one can recover this excellent behavior without assuming 2 is invertible if instead of quadratic or symmetric bilinear forms one considers "homotopy symmetric" forms. In addition, we also show that under this hypothesis classical and homotopy symmetric hermitian K-theory agree in sufficiently high degrees, thus recovering "eventual" $A^1$-invariance for classical hermitian K-theory.
• Mirko Mauri (14h45-15h15) : Decomposition theorem for Lagrangian fibrations
  Moduli spaces of sheaves on K3 or abelian surfaces or moduli spaces of $G$-Higgs bundles are prototypes of holomorphic symplectic varieties endowed with a Lagrangian fibration, called Beauville–Mukai or Hitchin system respectively. The decomposition theorem informs us about symmetries of the cohomology of these moduli spaces like Euler characteristic independence or topological mirror symmetry.The talk is based on a joint work with Migliorini and Pagaria, and ongoing projects with de Cataldo, Fringuelli and Herrero, and with Kim and Sawon.
• Pause café
• Enrica Mazzon (16h-16h30) : Higher Fano Manifolds
  Fano manifolds are complex projective manifolds characterized by a positive first Chern class. This positivity condition has profound geometric and arithmetic consequences. For example, Fano manifolds are covered by rational curves, and families of Fano manifolds over one-dimensional bases always admit holomorphic sections.
  Recently, there has been significant interest in defining suitable higher analogues of the Fano condition. Higher Fano manifolds are conjectured to exhibit stronger versions of the remarkable properties of Fano manifolds. In this talk, I will introduce a potential notion of higher Fano manifolds based on the positivity of higher Chern characters and explore the special geometric features that distinguish these manifolds.
• Manh-Linh Nguyen (16h45-17h15) : L'obstruction de Brauer–Manin et la méthode de la descente
  Soit $X$ une variété algébrique définie sur un corps de nombres $k$. Une question fondamentale en géométrie arithmétique est de décider si $X$ possède un point $k$-rationnel. Une condition nécessaire évidente est que $X$ ait des points locaux dans tous les complétés $k_v$ de $k$, mais cela n'est pas toujours suffisant (dans ce cas, on dit que $X$ est un contre-exemple au principe de Hasse). Nous introduisons dans cet exposé une obstruction cohomologique définie par Manin permettant de détecter le défaut du principe de Hasse, ainsi qu'une propriété appelée « approximation faible ». Nous présentons ensuite la théorie de la descente, une méthode due à Colliot-Thélène et Sansuc. L'esprit de cette dernière est englobé dans une « conjecture de descente », qui a été récemment formulée par Wittenberg. Nous discuterons les cas connus de cette conjecture-là, à savoir ceux des torseurs sous un tore, un groupe fini hyper-résoluble (Harpaz–Wittenberg, 2020 et 2022) ou un groupe linéaire connexe (L., 2023).
• Victor Roca i Lucio (17h30-18h) : Théorie de Lie supérieure en caractéristique positive
  Étant donné une algèbre de Lie nilpotente sur un corps de caractéristique nulle, on peut construire un groupe de façon universelle via la formule de Baker-Campbell-Hausdorff. Cette procédure d'intégration admet des généralisations homotopiques pour les algèbres de Lie differentielles graduées ainsi que pour les algèbres de Lie à homotopie près; dans ces cas là nous obtenons non plus un groupe, mais un infini groupoïde. Celui-ci s'interprète comme l'infini groupoïde des déformations infinitésimales qu'encode l'algèbre de Lie différentielle graduée sous la correspondance de Lurie-Pridham. Grâce aux récents travaux de Brantner-Mathew, cette correspondance entre problèmes de déformation infinitésimaux et les structures algébriques de type Lie a été étendue en caractéristique positive, avec de l'autre côté ce qu'on appelle les algèbres de Lie à partitions. Dans cet exposé, je construirai un analogue du foncteur d'intégration pour ces algèbres de Lie à partitions. J'expliquerai comment relier ces constructions à celles qui existent en caractéristique nulle. Finalement, je parlerai de quelques applications en théorie de l'homotopie $p$-adique.