Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

A basic question about a curve over a finite field is how many points it has, and for a family of curves one can study the distribution of this statistic. We will give concrete examples of families in which this distribution is known or predicted, and compute the distribution law for the concrete family of biquadratic curves.

Soit $F$ une extension finie non ramifiée de $\bar{Q}_p$ et $\bar{\rho}$ une représentation de dimension deux irréductible du groupe de Galois absolu de $F$. Nous déterminons la variété de Kisin paramètrant les modules de Breuil-Kisin associés à certaines familles de déformations potentiellement Barsotti-Tate de $\bar{\rho}$. Ce résultat explicite et étonnamment simple donne des informations nouvelles sur la géométrie de certains anneaux de déformations. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Xavier Caruso et Agnès David.

Dans la première partie de cet exposé on utilisera la théorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules pour donner une construction très générale des hauteurs p-adiques. Dans la deuxième partie on appliquera cette construction à l'étude des zéros exceptionnels des fonctions $L$ de formes modulaires.

Le problème de Résolution des Singularités peut s'énoncer de la manière suivante: Question. Soit $X$ un schéma noethérien séparé, réduit et quasi-excellent, ${\rm Reg}X$ l'ouvert dense de ses points réguliers. Existe-t'il un morphisme propre et birationnel $\pi: \ \tilde{X}\rightarrow X$ tel que: (1) $\tilde{X}$ est régulier en tout point, et (2) $\pi$ induit un isomorphisme $\pi^{-1}({\rm Reg}X) \simeq {\rm Reg}X$? Il est conjecturé dans EGAIV (1965) que la partie (1) de cette question a une réponse affirmative. Lorsque les corps résiduels de $X$ sont de caractéristique positive, la version (1)(2) de cette conjecture a été résolue en dimension deux par J. Lipman (1978). Dans un travail commun avec V. Cossart (LMV - UMR 8100), nous l'avons résolue en dimension trois. Ceci s'applique en particulier aux schémas (séparés réduits de dimension trois) qui sont de type fini sur un anneau local complet ou sur un anneau d'entiers de corps de nombres.

Nous présentons des exemples de familles de courbes elliptiques $E$ sur $K=\mathbb{F}_q(t)$ pour lesquelles on peut démontrer un analogue du théorème de Brauer-Siegel. Plus précisément, si $H(E)$ désigne la hauteur différentielle (exponentielle) de $E$, on prouve pour ces familles de courbes $E/K$ que $$\log(\#{I\!I\!I}(E/K)\cdot\mathrm{Reg}(E/K))\sim \log H(E), \text{ lorsque } H(E)\to\infty,$$ où $\mathrm{Reg}(E/K)$ est le régulateur de Néron-Tate de $E$ et $I\!I\!I(E/K)$ son groupe de Tate-Shafarevich de $E$ (qui est fini dans les exemples considérés). La preuve d'une telle relation asymptotique passe par le calcul de la fonction $L(E/K, s)$ de $E$ et par des estimations de sa valeur spéciale en $s=1$. En m'appuyant sur l'exemple des courbes \og{}de Legendre\fg{}, j'expliquerai les grandes lignes de la démonstration. Ces familles sont autant d'exemples où une conjecture de M. Hindry est vraie.

Soient $N$ et $p$ deux nombres premiers $\geq 5$ tels que $p$ divise $N-1$. Nous estimons le $p$-rang du groupe des classes de $\mathbf{Q}(N^{\frac{1}{p}})$, en terme du comportement de certaines unités, dont nous considérons des logarithmes à valeur dans $\mathbf{F}_p$. Nous réinterprétons ces logarithmes grâce à la formule de Gross--Koblitz et à des identités sur la fonction Gamma $N$-adique. Un cas particulier (dont nous n'avons pas trouvé de preuve élémentaire) de nos formules s'énonce ainsi : supposons que $N=2^p-1$ est un nombre premier de Mersenne. Alors l'entier $\prod_{k=1}^{\frac{N-1}{2}} k^k$ est une puissance $p$-ième modulo $N$. De plus nous donnons une nouvelle démonstration sans utiliser le formes modulaires d'un résultat de Calegari et Emerton.

I will start with a short survey for non experts concerning Galois representations attached to etale cohomology of schemes. In the second part of the talk I'll present some results in this area obtained recently in a collaboration with Gebhard Boeckle and Sebastian Petersen.

I will explain the recent proof of the p-part of the Birch and Swinnerton-Dyer Conjectural formula for elliptic curves over Q of analytic rank one. The proof is based on choosing a suitable parametrization of the elliptic curve with a Shimura curve, using Kolyvagin's Euler system method to get the upper bounds and an anticyclotomic Iwasawa main conjecture as well as a control theorem to get the lower bounds. This is joint work with Chris Skinner and Xin Wan.

A K3 surface $X$ (over a $p$-adic field $K$) is said to have good reduction if it admits a smooth proper model over the ring of integers of $K$. Assuming this, we say that a subgroup $G$ of $\mathrm{Aut}(X)$ is extendable if $X$ admits a smooth proper model equipped with $G$-action (compatible with the action on $X$). We show that $G$ is extendable if it is of finite prime-to-$p$ order and acts symplectically (that is, preserves the global $2$-form of $X$). We also give some examples of non-extendable $G$.

Dans un groupe fini commutatif $G$ de cardinal connu où on s'est donné deux éléments $g\in G$ et $h\in\langle g \rangle$, le problème du logarithme discret consiste à calculer le plus petit entiers $x$ tel que $h=g^x$. La difficulté de ce problème dépend du groupe $G$: il est trivial dans le groupe Z/nZ et requiert un nombre exponentiel d'opérations dans le groupe des points rationnels des courbes elliptiques sur un corps fini. Le cas $G=(\mathbb{F}{p^n})^*$ est très important grâce à l'introduction des accouplements de Weil en cryptologie. Pour calculer des logs discrets dans $\mathbb{F}_{p^n}$ on utilise l'algorithme du crible algébrique, qui a été inventé pour factoriser des entiers et adapté ensuite à notre problème. L'enjeu est alors de choisir bien les deux corps de nombres qui interviennent dans l'algorithme, qui sont tels que $\mathbb{F}_{p^n}$ soit représenté comme corps résiduel commun. Dans cet exposé nous allons voir comment choisir de tels corps de nombres quand $n$ est composé. Cela a comme conséquence que, pour $p^n$ dans un intervalle etroit, la difficulté du problème augmente avec $p$ ou, dit autrement, les plus difficiles corps finis sont les corps premiers.

On détermine la structure locale des variétés $p$-adiques de Hecke-Hilbert en certains points correspondant aux séries thêta classiques de poids $1$ régulières en $p$ et on donne quelques applications. Notre approche utilise la théorie des déformations galoisiennes.

(Travail en collaboration avec Fei Xu). L'approximation forte avec l'obstruction de Brauer-Manin est définie par Colliot-Thélène et Xu. C'est une méthode pour étudier le principe local-global pour les points entiers. Dans cet exposé, soient $k$ un corps de nombres, $G$ un groupe linéaire sur $k$, $X$ une $G$-variété lisse géométriquement intègre et $U$ une $G$-orbite ouverte de $X$. Je parlerai de notre résultat dans le cas où $U$ est isomorphe à $G$, et j'expliquerai sa démonstration. Ensuite, je parlerai de notre programme dans le cas où $U$ est isomorphe à $G/H$, avec $H$ connexe.

Les deux théories classiques et riches, celle de corps de nombres et la géométrie algébrique, supposent que le degré du corps de nombres sur $\mathbb Q$ est fini, et que la courbe a une application finie sur la droite, c'est-à-dire que le schéma correspondant est noethérien. Peut-on étudier l'arithmétique des corps globaux "infinis", i.e. les extensions infinies de $\mathbb Q$ et les pro-courbes sur un corps fini ? Dans ce cas-là, tous les invariants habituels sont infinis. Mais heureusement les rapports entre eux restent finis et nous pouvons les étudier. Le niveau de notre connaissance est faible, la théorie reste plus qu'incomplète mais, à mon avis, assez intéressante.

We construct a semistable family of arithmetic hypergeometric Calabi-Yau 3-folds over the affine line over $\mathbb Z[1/2]$, whose periods are given by the generalized hypergeometric function ${}_4F_3(1/2,1/2,1/2,1/2; 1, 1, 1;\lambda)$. In the semistable fiber at $\lambda =1$ one finds a rigid Calabi-Yau 3-fold as an irreducible component. We explicitly study the modularity of the rigid Calabi-Yau 3-fold and algebraic cycles on the fiber.

The André-Oort conjecture is an important problem in arithmetic geometry concerning subvarieties of Shimura varieties. It attempts to characterise those subvarieties $V$ for which the special points lying on $V$ constitute a Zariski dense subset. When the ambient Shimura variety is the moduli space of principally polarised abelian varieties of dimension $g$ (in which case, a special point is a point corresponding to the isomorphism class of a CM abelian variety), the conjecture has been obtained by Pila and Tsimerman via the so-called Pila-Zannier strategy, reliant on the Pila-Wilkie counting theorem on o-minimal structures. In this talk, we will outline the Pila-Zannier strategy, providing some introduction to Shimura varieties and André-Oort, and explain the state of the art for the full conjecture. In particular, we will mention certain height bounds obtained jointly with Orr.

This talk has to do with knots invariants which are elements of the Brauer groups and of the Tate Shafarevitch groups of curves over number fields. Constructing these invariants involves a close analysis of the canonical Azumaya algebra which is defined over an open dense subset of Thurston's canonical curve in the representation variety of the knot group. This is joint work with Alan Reid and Matt Stover.

L'exposé sera consacré à certains progrès (plus ou moins) récents sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer associée à une courbe elliptique $E$ sur ${\mathbb Q}$ et une représentation d'Artin $\varrho$. Il s'agit entre autres de relier la multiplicité de $\varrho$ dans le groupe de Mordell-Weil de $E$ à l'ordre d'annulation en $s=1$ de la fonction $L$ de Artin-Hasse-Weil associée à $E$ et $\varrho$.

We will discuss the question of defining a $p$-adic $L$-function and formulating a main conjecture for an Artin representation. The case where the Artin representation is totally even (or odd) is classical. The corresponding main conjecture has been proven by Wiles. This talk will discuss the special case where the representation is 2-dimensional, but not totally even or odd. As we will explain, under certain assumptions, there are two $p$-adic $L$-functions, two Selmer groups, and two main conjectures. This talk is about joint work with Nike Vatsal.

J’expliquerai l’énoncé et les idées de la preuve d’une (version d’une) conjecture de Breuil-Strauch, qui fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $GL_2(\mathbf{Q}_p)$ pour les représentations galoisiennes de de Rham non triangulines, en termes du complexe de de Rham des revêtements du demi-plan $p$-adique. Il s’agit d’un travail en commun avec Gabriel Dospinescu.

Nous esquissons une méthode pour définir la cohomologie de de Rham surconvergente et la cohomologie rigide basée sur l'idée de Monsky-Washnitzer et le langage motivique. Nous rappelons aussi la définition du basculement analytique rigide motivique basé sur les travaux de Scholze en présentant des applications et des conséquences cohomologiques de ces constructions.