A conjecture of Mazur, Tate and Teitelbaum (MTT) compares the order of vanishing of the $p$-adic $L$-function attached to an elliptic curve~$E$ at $s=1$ to that of the Hasse-Weil $L$-function (where the latter is called the analytic rank of~$E$). When $E$ has split multiplicative reduction at~$p$, the $p$-adic $L$-function always vanishes at $s=1$ and MTT conjectured that its order of zero is exactly one more than the analytic rank of~$E$ in that particular case. In 1992, Greenberg and Stevens proved this conjecture when the analytic rank is zero. I will explain a proof of the MTT conjecture when the analytic rank is one (modulo the non-degeneracy of Nekovar's $p$-adic height pairing). The main ingredient is the $p$-adic Gross-Zagier-style formula we prove for the $p$-adic height of the Beilinson-Kato elements. If time remains, I will discuss an extension (joint with D. Benois) of this result to the case of a modular form~$f$ of weight greater than~2. The main difficulty in this case lies in the fact Deligne's Galois representation~$V$ attached to~$f$ is no longer $p$-ordinary in the presence of "extra zeros". This difficulty is circumvented relying on the fact that the (local Galois representation)~$V$ admits a triangulation over the Robba ring (thence it is ``ordinary'' in the level of the associated $(\phi-\Gamma)$-modules).

Starting with a symmetric/antisymmetric matrix with integer coefficients (which we view as an analogue of a metric/form on a bundle over Spec($\mathbf Z$)) we introduce arithmetic analogues of connections and curvature (in which usual derivatives acting on functions are replaced by Fermat quotient operators acting on integer numbers). The Christoffel symbols are then matrix analogues of Legendre symbols. We prove that the curvature of the connection attached to the matrix defining the split $SO_n$ or $Sp_n$ does not vanish for $n$ at least~4. We also show that the curvature for these matrices vanishes ``to order 3" for all~$n$. Morally, Spec($\mathbf Z$) is ``curved" but only ``mildly" curved. This and related results could be viewed as first steps in a program of developing an ``arithmetic analogue of differential geometry".

Nous utilisons la méthode du cercle de Hardy-Littlewood pour justifier le titre. C'est un travail en commun avec Roger Heath-Brown.

We combine recent breakthroughs in modularity lifting with a 3-5-7 modularity switching argument to deduce modularity of elliptic curves over real quadratic fields. We discuss the implications for the Fermat equation. In particular we prove an asymptotic version of Fermat's Last Theorem over $\mathbf Q(\sqrt{d})$ for a subset of squarefree positive~$d$ having density~5/6. This is based on joint work with Nuno Freitas (Bayreuth) and Bao Le Hung (Harvard).

Dans cet exposé je parlerai de la distribution des nombres premiers congrus à $a$ modulo~$q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur~$q$. Le but sera de montrer que l'approximation de Vaughan est vraiment supérieure à l'approximation classique pour cette quantité, et qu'elle possède un biais envers les valeurs de $a$ ayant au plus un facteur premier.

Une variété abélienne définie sur un corps de nombres est dite fortement modulaire lorsque sa fonction $L$ est produit de fonctions $L$ de formes modulaires de poids~2. Dans cet exposé, je montrerai une version faible des conjectures de Beilinson pour les valeurs non critiques des fonctions $L$ des variétés abéliennes fortement modulaires. J'expliquerai l'intérêt qu'il y a à formuler ces conjectures de manière équivariante ainsi que les ingrédients principaux de la preuve : une version Hecke-équivariante du théorème de Beilinson pour les courbes modulaires et un résultat de modularité pour les algèbres d'endomorphismes. Dans le cas particulier des courbes elliptiques, cela entraîne une version faible de la conjecture de Zagier pour les $\mathbf Q$-courbes sans multiplication complexe qui sont complètement définies sur un corps quadratique.

Soit~$\overline{\rho}$ une repr\'esentation continue du groupe de Galois absolu de~$\mathbb{Q}_{p^f}$ dans~$\mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$. Je pr\'esenterai une m\'ethode pour d\'eterminer des anneaux de d\'eformations potentiellement Barsotti--Tate de $\overline{\rho}$. D'apr\`es la conjecture de Breuil--M\'ezard, ces d\'eformations r\'egissent, via la correspondance de Langlands, la g\'eom\'etrie de l'ensemble des d\'eformations potentiellement semi-stables et cristallines de $\overline{\rho}$. Notre m\'ethode repose sur l'\'etude de vari\'et\'es de Kisin, qui param\`etrent certains r\'eseaux en th\'eorie de Hodge $p$-adique. J'en donnerai une description explicite, dont d\'ecoulent plusieurs propri\'et\'es : connexit\'e, non vacuit\'e en relation avec les poids de Serre de $\overline{\rho}$. Nos premiers r\'esultats r\'ev\`elent de nouveaux ph\'enom\`enes g\'eom\'etriques, pour les vari\'et\'es de Kisin comme pour les anneaux de d\'eformations. Il s'agit d'un travail en commun avec X.~Caruso et A.~M\'ezard.

Les progrès continus de la théorie des déformations de représentations galoisiennes (Mazur, Wiles, Taylor) permettent de démontrer des résultats spectaculaires concernant la conjecture de Hasse-Weil. On essaiera d'une part de formuler ces résultats récents contenus dans un article de Patrikis et Taylor. En supposant les auditeurs familiers avec les faits de base de la géométrie algébrique arithmétique, on essaiera aussi d'expliquer certains des ingrédients \og automorphes\fg~de la démonstration.

Dans cet exposé, nous présenterons quelques avancées récentes qui ont permis d'améliorer très notablement le calcul de logarithmes discrets en petite caractéristique, à la fois en théorie et en pratique. Sur l'aspect théorique, on obtient sous réserve d'hypothèses heuristiques semblant raisonnables un algorithme de complexité quasi polynomiale dans la taille du corps considéré (si la caractéristique est suffisamment petite). Sur le plan pratique, ces nouvelles méthodes ont permis d'obtenir de nouveaux records en calculant des logarithmes discrets dans des corps auparavant considérés comme totalement inaccessibles.

An intriguing and almost completely unsolved problem is to understand the overlap between classes of q-hypergeometric series and modular forms. This challenge was the subject of George Andrews' plenary address at the UIUC Millennial Conference on Number Theory and has its origin in Ramanujan's last letter to G.H. Hardy on January~12, 1920 whereby 17 mock theta functions were introduced. We discuss recent work concerning the explicit construction of new individual examples and infinite families of mock theta functions (in the modern sense of Zagier). Additionally, we discuss various ways to produce q-hypergeometric series which are mixed mock modular forms. This is joint work with Jeremy Lovejoy (Paris 7).

Nous ferons un tour d'horizon des propriétés d'intégralité des coefficients de Taylor en 0 des applications miroir hypergéométriques.

Le contrôle du nombre de zéros d’une expression polynomiale en une fonction est bien souvent un argument crucial dans les démonstrations de transcendance (par exemple, les polynômes d’exponentielles dans le cas du théorème de Gelfond-Schneider). Je montrerai comment, par une méthode due à D.~Masser, on peut établir de telles estimations pour les fonctions gamma d’Euler et zêta de Riemann. J’en déduirai alors des résultats sur les propriétés diophantiennes des valeurs de ces fonctions, avant de discuter de possibles généralisations du procédé.

Soit $A$ une variété abélienne sur un corps de fonctions d'une variable $K$ sur un corps fini $k$. La formule qu'évoque le titre s'obtient en transformant l'expression de $L(A,s)$ donnée par la formule des traces de Lefschetz-Grothendieck-Verdier en un produit de fonctions zêta de motifs de Chow sur $k$. Un nouveau venu est un motif effectif de poids~$2$, qui contrôle le groupe de Tate-Shafarevich \og géométrique\fg~ de~$A$. Cela permet de retrouver un théorème de Kato et Trihan: l'ordre de $L(A,s)$ en $s=1$ est égal au rang de $A(K)$ si et seulement si l'une des compostantes $l$-primaires du groupe de Tate-Shafarevich (\og arithmétique\fg) de $A$ est fini. La preuve se fait par réduction au cas de la jacobienne d'une courbe~$\Gamma$ sur~$K$. Dans ce cas, on obtient aussi une comparaison précise entre $L(A,s)$ et $\zeta(S,s)$, où $S$ est une $k$-surface projective lisse birationnelle à~$\Gamma$. Si l'on remplace $k$ par un corps global~$F$, on obtient une définition de $L(A,s)$ pour une variété abélienne $A$ définie sur un corps de dimension de Kronecker 2, et un analogue du calcul précédent pour une $F$-surface projective lisse.

Le théorème d'Ax-Lindemann est un énoncé d'indépendance algébrique de fonctions, qui généralise (l'analogue d')un théorème classique de Lindemann-Weierstrass. Il joue un rôle clé dans la méthode de Pila-Zannier pour démontrer la conjecture d'André-Oort mixte. Récem-ment, Klingler-Ullmo-Yafaev l'ont démontré pour toutes les variétés de Shimura pures, et je l'ai démontré pour toutes les variétés de Shimura mixtes, en utilisant leur résultat. La théorie o-minimale, en particulier les théorèmes de comptage de Pila-Wilkie, est très importante pour toutes les démonstrations. Dans cet exposé, je vais insister sur le cas de la famille universelle de variétés abéliennes. J'expliquerai comment voir cette famille comme une variété de Shimura mixte, donnerai l'énoncé d'Ax-Lindemann (et Ax de type log) et puis présenterai la stratégie de sa démonstration. Les différences entre ma démonstration (pour le cas mixte) et la démonstration de KUY (pour le cas pur), ainsi que l'utilisation de Pila-Wilkie, seront expliquées.

Soit $K$ un corps de caractéristique$0$ et soit $X^{\times}$ une log-variété quasi projective à croisements normaux sur le log-point $K^{\times}$. Dans cet exposé nous construisons une version de Rham logarithmique de la suite d'homotopie, à savoir \begin{equation*} \pi^{\mathrm{dR}}_1(X^{\times}/K^{\times})\rightarrow \pi^{\mathrm{dR}}_1(X^{\times}/K)\rightarrow \pi^{\mathrm{dR}}_1(K^{\times}/K)\rightarrow 0. \end{equation*} et démontrons qu'elle est exacte. En plus nous étudions l'injectivité de la première flèche pour certains quotients des groupes. Nos démonstrations sont complètement algébriques. Il s'agit d'un travail en commun avec Atsushi Shiho.

La conjecture de Manin propose un équivalent asymptotique pour le nombre de points rationnels de hauteur bornée d'une variété projective lisse, lorsque la borne sur la hauteur tend vers l'infini. Si $X$ est une surface projective lisse définie sur un corps de nombres, le nombre de points algébriques de degré fixé~$m$ et de hauteur bornée de~$X$ peut être mis en relation avec l'étude de cette conjecture sur le schéma de Hilbert de $m$ points sur~$X$. Nous montrerons alors que la conjecture de Manin est fausse pour le schéma de Hilbert de deux points sur la surface $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$, mais devient vraie en l'affaiblissant légèrement.

Soient $p$ un nombre premier et $K/\mathbf Q_p$ une extension finie. Dans le cadre de son travail sur la correspondance de Langlands $p$-adique pour $GL_2(\mathbf Q_p)$, Colmez a introduit la notion de représentation \og trianguline\fg~du groupe de Galois absolu $G_K$ de~$K$ ; si $V$ est une représentation $p$-adique de $G_K$, la définition peut être reformulée en termes de condition sur la $B$-paire attachée à~$V$. Dans cet exposé, on s'intéressera à la question suivante: si $V$ et $V'$ sont sont des représentations $p$-adiques de $G_K$ dont le produit tensoriel est trianguline, que peut-on dire de $V$ et $V'$ ? Nos théorèmes sont énoncés pour les $B$-paires ; ils s'appliquent donc en particulier aux représentations $p$-adiques de $G_K$.

Je présenterai quelques propriétés structurelles de l'ensemble des valeurs prises par les $G$-fonctions (au sens de Siegel). Quelques conséquences seront obtenues concernant l'ensemble des nombres réels ayant des approximations rationnelles engendrées par des $G$-fonctions. Enfin, des problèmes similaires seront abordés pour les $E$-fonctions, de façon moins précise. Il s'agit d'un travail en commun avec Stéphane Fischler.

C'est travail commun avec J. Pila. En utilisant une variation du théorème de comptage de Pila-Wilkie on résout un cas particulier de la conjecture Zilber-Pink pour des courbes dans une variété abélienne. Cette stratégie provient des travaux de Zannier et Sarnak et a eu plusieurs applications à des problèmes diophantiens comme la conjecture de Manin-Mumford et d'André-Oort.

A few years ago a rather surprising discovery was made to the effect that certain phenomena of arithmetic nature in the cohomological structure of schemes are literally driven by their ‘infinitesimal geometry’. The talk will serve as an introduction to this subject.

Considérons une courbe $p$-adique lisse~$X$ au sens de Berkovich et munissons-la d'un fibré à connexion. Suivant F.~Baldassarri, nous expliquerons tout d'abord comment définir un rayon de convergence en tout point de la courbe. Nous montrerons que cette fonction rayon de convergence se factorise par la rétraction sur un sous-graphe localement fini. Nous indiquerons finalement comment en déduire des résultats pour les fibrés à connexion : filtration ou décomposition et finitude de la cohomologie de de Rham. Ces résultats ont été obtenu en collaboration avec A. Pulita.

The asymptotic formula of the number of integral points in non-compact symmetric homogeneous spaces of semi-simple simply connected algebraic groups is given by the average of the product of the number of local solutions twisted by the Brauer-Manin obstruction. As application, we will prove that the asymptotic formula of the number of integral matrices with a fixed irreducible characteristic polynomial over integers studied by Eskin-Mozes-Shah is equal to the product of the number of local integral solutions over all primes although the density function defined by Borovoi and Rudnick is not trivial in general. This is a joint work with Dasheng Wei.

We explain the construction of a three variables $p$-adic $L$-function interpolating the special values of triple product complex $L$-functions attached to three families of modular forms and explain some of their arithmetic properties. This is a joint work with M. Greenberg and part of a work in progress with M. Bertolini and R. Venerucci.

La formule de Lerch-Chowla-Selberg exprime les périodes d'une courbe elliptique à multiplication complexe comme produit de valeurs spéciales de la fonction gamma. Motivé par une nouvelle preuve de ce résultat, Gross a conjecturé, à la fin des années 70, que le résultat reste vrai pour toute structure de Hodge géométrique avec multiplication complexe par un corps de nombres abélien. Des travaux de Gross, Deligne, Anderson, Colmez et, plus récemment, Maillot et Rössler ont établi des cas remarquables de la conjecture, notamment celui des variétés abéliennes et des variétés avec automorphisme d'ordre fini. Dans cet exposé, j'expliquerai une nouvelle approche, basée sur une formule du produit, due à Saito et Terasoma, pour les périodes des fibrés à connexion plats à singularités régulières, dont le système local des sections horizontales est muni d'une structure rationnelle.

Une fonction trace est une fonction sur le corps fini~$\mathbf F_p$ obtenue à partir des \og traces de Frobenius\fg~ d'un faisceaux $\ell$-adique, constructible, mixte de poids~$\leq 0$ sur la droite affine~$\mathbf A^1_{\mathbf F_p}$. Une fonction trace définit donc une fonction arithmétique périodique de période~$p$. Dans cet exposé nous discutons de diverses méthodes permettant d'évaluer les corrélations entre de telles fonctions et d'autres fonctions arithmétiques naturelles : par exemple la fonction caractéristique des nombres premiers ou la fonction \og coefficient de Fourier\fg~ d'une forme modulaire. Nous donnerons plusieurs applications dont la plus récente est le projet Polymath8 visant à réduire la valeur de constante de Y.~Zhang sur l'écart entre deux nombres premiers consécutifs. Il s'agit de travaux en commun avec E.~Fouvry, E.~Kowalski ainsi qu'avec les membres du projet Polymath8.

Faltings a prouvé en 1983 le résultat suivant pour deux variétés abéliennes $A$ et $B$ définies sur un corps de nombres~$K$ : une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ et $B$ soient $K$-isogènes est que, pour un ensemble de densité un de premiers de $K$, les facteurs locaux des fonctions~$L$ de $A$ et $B$ soient égaux ; pour chaque tel premier, ceci implique que les points rationnels $A(k)$ et $B(k)$ des réductions de $A$ et $B$ sur le corps residuel~$k$, ont même cardinal. L'objectif de cet exposé est de montrer que pour une large classe de variétés abéliennes (contenant notamment celles dont l'anneau d'endomorphismes est réduit aux entiers relatifs et dont la dimension est 2 ou impaire), \og ont même cardinal\fg~ peut être remplacé par \og ont même ensemble de diviseurs premiers\fg~ tout en assurant que ceci donne toujours une condition suffisante pour que $A$ et $B$ soient $K$-isogènes. La stratégie de preuve, que nous tâcherons d'expliciter, prolonge en dimension supérieure celle de Hall-Perucca qui ont prouvé un résultat analogue pour les courbes elliptiques. Nous utiliserons notamment des résultats et idées de Serre sur les représentations $\ell$-adiques pour les variétés abéliennes.

Soit $\rho$ une représentation absolument irréductible du groupe de Galois absolu d'un corps local $p$-adique $K$ sur un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps fini de caractéristique~$p$. Notons~$X$ la fibre générique du spectre de l'anneau de déformation universel de~$\rho$. Nous prouvons que les points fermés de~$X$ correspondant aux déformations qui proviennent d'un groupe $p$-divisible défini sur une extension finie de~$K$ sont denses dans~$X$ pour la topologie de Zariski. La preuve de ce résultat utilise l'espace analytique rigide des représentations triangulines ainsi que des arguments globaux. Ceci est un travail en collaboration avec Eugen Hellmann.

Les travaux de Gillet-Soulé en théorie d'Arakelov permettent de formuler des analogues de la géométrie des nombres de Minkowski en dimension supérieure. C'est le cas de la fomule de Grothendieck-Riemann-Roch \og arithmétique\fg~ et son corollaire, l'asymptotique à la Hilbert-Samuel pour les volumes de réseaux de sections entières d'un fibré inversible hermitien. Cependant, des exemples naturels d'applications, comme les courbes modulaires, les variétés modulaires de Hilbert ou plus généralement des variétés de Shimura \og compactifiées\fg, ne vérifient pas les hypothèses nécessaires. Le but de cet exposé est de présenter un résultat avec Robert Berman, qui couvre ces situations. Le contenu sera surtout un survol du sujet pour les non spécialistes, tout en introduisant les éléments clés et en signalant quelques applications possibles et questions ouvertes.

Le théorème de Thue-Siegel-Roth affirme qu'étant donnés $\epsilon > 0$ et un nombre réel algébrique $\alpha$, il n'existe qu'un nombre fini de nombres rationnels $p / q$ tels que $$\left| \alpha -\frac p q \right| \leqslant \frac{1}{|q|^{2 + \epsilon}}.$$ La preuve de ce théorème -- comme la plupart des résultats d'approximation diophantienne -- repose sur un schéma de démonstration qui remonte aux travaux de Thue (1909) et qui dès lors est resté inchangé. Nous montrerons dans cet exposé qu'il est possible de donner une nouvelle approche grâce à la théorie géométrique des invariants (GIT). L'outil principal sera une formule reliant la hauteur d'un point semi-stable d'un produit de deux grassmaniennes à la hauteur de sa projection sur le quotient GIT.

Il s'agit d'un travail en cours et en collaboration avec Pierre Colmez et Vytautas Paskunas. Soit $L$ une extension finie de $\mathbf Q_2$ et soit $\overline{\rho}$ la représentation triviale de dimension 2 du groupe de Galois absolu de $\mathbf Q_2$, définie sur $L$. On associe naturellement à cette représentation un espace de déformations (cadrées) et le but du travail est de comprendre les composantes irréductibles de cet espace et de prouver la densité des points cristallins dans cet espace. Cela finit une série de travaux dûs à Colmez, Kisin, Chenevier, Bockle,\ldots, et a pour principale conséquence le fait que la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\mathbf Q_p)$ n'a plus aucune hypothèse sur $p$ ou sur la représentation résiduelle.