Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

Classical results of Rankin show that Ramanujan's tau function can not be ultimately periodic. In a recent joint work with J-M Deshouillers, Y. Bilu and F. Luca, we prove that for any positive integer $k$, the numbers $\tau(n)$ are $\neq 0$ for $1 \le n \le k/2$ if and only if for every permutation $\sigma$ of the set $\{ 1, 2, \cdots, k\}$, there exists infinitely many positive integers $m$ such that $0\lneq|\tau(m + \sigma(1))|\lneq |\tau(m + \sigma(2))|\lneq\cdots\lneq|\tau(m + \sigma(k))|$. In particular, if Lehmer conjecture holds, ie if $\tau(n) \neq 0$ for all $n$, then our theorem applies to all positive integers $k$.

Le théorème de Mordell-Weil affirme que pour toute variété abélienne $A$, définie sur un corps de nombres $K$, le groupe des points $K$-rationnels est de type fini. Plus particulièrement, on s'intéresera dans cet exposé au sous-groupe fini des points de torsion $A(K)_{\mathrm{tors}}$ définis sur $K$. C'est naturel de se demander si on peut obtenir une borne uniforme pour $|A(L)_{\mathrm{tors}}|$, dépendant uniquement du degré $[L:K]$, lorsque la variété abélienne $A$ varie et le corps de nombres $L$ est fixé. Cette question est connue comme la conjecture de la borne uniforme. Pour ce qui est des courbes elliptiques, définies sur un corps de nombres $K$, Merel a prouvé en 1994 que l'on peut en effet obtenir une borne uniforme en utilisant des méthodes développées par Mazur et Kamienny. Cependant il est aussi naturel de se demander si l'on peut obtenir une borne de $|A(L)_{\mathrm{tors}}|$ qui dépend uniquement du degré $[L:K]$ lorsque l'extension $L/K$ varie et la variété abélienne $A$ est fixée. Dans cette direction Hindry et Ratazzi ont énoncé plusieurs résultats concernant certaines classes de variétés abéliennes, en particulier leurs résultats fournissent une borne optimale. L'objectif de cet exposé, sera de vous présenter des nouveaux résultats dans cette direction. On se concentrera sur la classe de variétés abéliennes de type III pleinement de type Lefschetz, c’est-à-dire, des variétés abéliennes telles que leur groupe de Mumford-Tate soit le groupe des similitudes orthogonales qui commutent avec les endomorphismes et telles qu’elles vérifient la conjecture de Mumford-Tate. En particulier, on fournit une liste de variétés abéliennes dont on sait prouver qu'elles sont pleinement de type Lefschetz.

The overconvergent fundamental group of a variety in characteristic $p$ is that attached to the category of overconvergent isocrystals via Tannakian duality. If $f:X\rightarrow S$ is a smooth, projective morphism of smooth varieties, with fibre $X_s$, I will explain how to show that the associated sequence of overconvergent fundamental groups $\pi_1(X_s) \rightarrow \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(S) \rightarrow 1$ is exact. One of the key components of the proof is to bootstrap up dos Santos' study of infinitesimal equivalence relations from the algebraic to the formal and analytic contexts.

It is of interest to describe the reductions of irreducible crystalline two-dimensional representations of the Galois group of $\mathbb Q_p$. One is now able to do this for all weights if the slope is small, using the compatibility between the $p$-adic and mod $p$ Local Langlands Correspondences with respect to the process of reduction, and some intensive computations on the tree. Say that a weight $k$ is exceptional for a (half-integral) slope $v$ if $k−2$ is twice $v$ modulo $p−1$. In this talk, we shall concentrate on describing the reduction at exceptional congruence classes of weights where the problem is much harder and the results, when forthcoming, are more surprising.

We explore the comparison isomorphism of p-adic Hodge theory in the case of elliptic curves, and discuss some ideas which may be used to prove the S-unit theorem and the finiteness of rational points on higher-genus curves (Faltings' theorem).

Étant donné une courbe irréductible lisse S sur $\overline{\mathbb Q}$ et un schéma abélien au-dessus, on y associe deux hauteurs de natures différentes : celle de Néron-Tate qui est définie fibre par fibre et celle sur une compactification lisse de S. Soit X une sous-variété irréductible de ce schéma abélien, nous démontrons que la hauteur de Néron-Tate d'un point quelconque dans un sous-ensemble ouvert dense de X est uniformément bornée en bas par la hauteur de sa projection vers S. En plus ce sous-ensemble de X s'exprime de manière explicite en terme de X et le schéma abélien. Nous utilisons cette inégalité de hauteurs pour démontrer la conjecture de Bogomolov géométrique sur caractéristique 0. Il s'agit d'un travail en commun avec Philipp Habegger.

In this talk we shall consider Pell equations in C[t]; the matter goes back to Abel, who studied this in 1826, also in connection with the integration in `finite terms' of hyperelliptic differentials. We shall present some fairly recent finiteness results concerning pencils of such equations, and their relation with the integration in finite terms of differentials in a pencil. This whole work is in collaboration with David Masser.

La notion de motif d’Artin relatif a été introduite par Ayoub et Zucker dans leur étude des motifs associés aux compactifications des quotients arithmétiques d’espaces hermitiens symétriques. Ils prédisent en outre dans leur travail l’existence d'un lien entre la partie Artin d’un motif relatif et la filtration (conjecturale) par le poids sur le coeur (conjectural) de la t-structure motivique. Dans cet exposé, je présenterai un travail récent en collaboration avec Julien Sebag dans lequel nous vérifions la prédiction de Ayoub-Zucker en théorie de Hodge pour une classe large de motifs relatifs (que l’on peut voir comme un analogue motivique des systèmes locaux). J’expliquerai en outre les liens avec la théorie des cycles proches et la géométrie non-archimédienne. vec Takao Yamazaki (Tohoku University).

L'anneau de Grothendieck des variétés sur un corps k est le quotient du groupe abélien libre sur les classes d'isomorphismes de variétés sur k, par des relations de "découpage", le produit étant induit par le produit des variétés. De nombreux problèmes de comptage en théorie des nombres ont un analogue géométrique faisant intervenir des classes dans cet anneau. Par exemple, la célèbre conjecture de Manin sur l'asymptotique des points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de Fano définies sur un corps de nombres a une version motivique naturelle, qui prédit certaines propriétés des classes des espaces de modules de courbes de grand degré sur les variétés de Fano (définies sur le corps de fonction d'une courbe). Je présenterai un résultat dans ce sens pour les compactifications équivariantes d'espaces affines. Il se formulera en termes d'une fonction zêta des hauteurs motivique, dont l'étude nécessitera l'introduction d'une notion de produit eulérien motivique.

Les corps de division des variétés abéliennes sont des objets centraux en géométrie arithmétique. Une des questions fondamentales est la suivante : soit $A/K$ une variété abélienne sur un corps de nombres, $\ell$ un nombre premier, et $A[\ell^n]$ le sous-groupe de $A(\overline{K})$ formé par les points de torsion dont l'ordre divise $\ell^n$. Comment le degré $K(A[\ell^n])/K$ varie-t-il avec $\ell$ et $n$? Le cas le plus simple et mieux compris est celui des variétés à multiplication complexe, pour lesquelles Ribet (en s'appuyant sur les travaux classiques de Shimura-Taniyama-Weil) a montré la borne \[ C_1 \ell^{nr} \leq [K(A[\ell^n]) : K] \leq C_2 \ell^{nr}, \] où $C_1,C_2>0$ dépendent de $A$ et de $K$, mais pas de $(\ell,n)$, et $r$ ne dépend que de $A_{\overline{K}}$. Pour certaines applications, il est important de comprendre précisément comment $C_1, C_2$ varient avec $A/K$. Dans cet exposé je vais reformuler ce problème en termes de groupes de Mumford-Tate, et donner une borne (essentiellement) uniforme pour $C_1, C_2$ qui ne dépende que de $K$ et de $\mathrm{dim}(A)$.

Serre’s uniformity conjecture asks if, given an elliptic curve $E$ over the rationals without complex multiplication, its residual mod $l$ representation is surjective for all primes $l > 37$. In this talk, I will show how an argument of Darmon and Merel — which is, itself, based on Mazur's formal immersion technique — can be adapted to prove the conjecture when $E$ admits a non-trivial cyclic rational isogeny.

We introduce positivity notions for pairs of adelic $\mathbb R$-Cartier divisors and base conditions, and study fundamental properties of the arithmetic volumes associated to such pairs. As a main result, we show that the Gâteaux derivatives of the arithmetic volume function at big pairs along the directions of adelic $\mathbb R$-Cartier divisors are given by suitable arithmetic positive intersection numbers.

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem gave birth to the 'modular method' to study Diophantine equations. Since then many other equations were solved using generalizations of this method. However, the success of the generalizations relies on a final "contradiction step" which is invisible in the original proof. In this talk, we will discuss why developing methods to distinguish Galois representations is relevant to this contradiction step. In particular, we will explain how the "symplectic argument" can be used to succeed in this last step. We will illustrate the method with example of applications to special cases of the Generalized Fermat equation $x^r + y^q = z^p$.

Pour une surface algébrique $X$, on s'intéresse à l'ensemble des points rationnels $X(\mathbb Q)$. Est-il non-vide ? Est-il infini ? Est-il dense pour la topologie de Zariski ? Les surfaces elliptiques sont des familles à un paramètre de courbes elliptiques. La densité des points rationnels de ce type de surfaces est encore mal connue en général. Lorsque la surface est isotriviale, on démontre la densité dans la plupart des cas lorsqu'elle est rationnelle. De plus, en étudiant la variation du signe de l'équation fonctionnelle des fibres on peut prédire la densité pour les surfaces non isotriviales conditionnellement à plusieurs conjectures (conjecture de parité, squarefree conjecture et conjecture de Chowla). Ces conjectures imposent une restriction sur le degré des facteurs irréductibles du discriminant. On peut les éviter dans certains cas, et ainsi obtenir la variation du signe inconditionnelle sur plusieurs familles de surfaces elliptiques dont le discriminant a des facteurs de degré arbitrairement grand.

Dans cet exposé nous discuterons d'un travail autour d'une formule explicite pour la hauteur de Faltings d'une variété abélienne sur un corps de nombres. Une telle formule est déjà connue pour les courbes elliptiques (Faltings) et pour les Jacobiennes des courbes de genre 2 (Autissier). Bien qu'il reste un travail conséquent pour pouvoir établir une formule générale nous conjecturons néanmoins sa forme et explicitons une minoration de la hauteur de Faltings qui est complètement effective. Cette minoration fait intervenir de nouveaux invariants tropicaux aux places non archimédiennes de mauvaise réductions. Nous en déduisons alors une minoration de la hauteur de Faltings en termes des cardinaux des groupes de composantes des fibres spéciales des Modèles de Néron aux places de mauvaise réduction. De ceci on déduit notamment une minoration de la hauteur de Faltings faisant intervenir très explicitement les normes des places de mauvaises réduction. Une telle minoration avait déjà été obtenue, par une autre méthode, par Fabien Pazuki dans une prépublication cependant notre version est beaucoup plus précise. Fabien Pazuki en déduit une majoration du rang du groupe de Mordell-Weil en terme de la hauteur de Faltings. Nous nous en déduisons une majoration du cardinal du groupe de torsion toujours en terme de la hauteur de Faltings. Cet exposé sera notamment l'occasion de parler de notions de théorie d'Arakelov et d'uniformisation des variétés abéliennes aux places non archimédiennes.

Dans ce travail en commun avec Kai Wen Lan, nous étudions la cohomologie du bord de variétés de Shimura en caractéristique positive, ainsi que de certaines de leurs strates. Nous introduisons un formalisme permettant par exemple de calculer le complexe d'intersection de la compactification minimale d'une strate d'Ekedahl-Oort. Cela généralise des formules dues à Morel dans le cas de toute la variété de Shimura.

La théorie de Galois différentielles des équations à un paramètre (=connexions intégrables sur les schémas au-dessus d’un AVD complet) produit des schémas en groupes qui peuvent *ne pas* être algébriques. Par contre, j'expliquerai que, au moins en égale caractéristique nulle, cette propriété désagréable est fruit d'un processus "automatique": on choisit un groupe de type fini et on éclate un sous-schéma formel. Ensuite, je tacherai de montrer, à l'aide du dictionnaire "connexions intégrables relatives $\leftrightarrow$ système locaux relatifs" de Deligne, que même dans le cas régulier à l'infini (=connexions sur les schémas projectifs) les groupes de type "infini" apparaissent naturellement. Pour conclure, j'argumenterai que, malgré la particularité précédente, la régularité à l’infini induit quelques bonnes propriétés aux groupes associés. (Il s’agit d’un travail en collaboration avec P. H. Hai.)

I will discuss some new relationships between iterated p-adic line integrals (Coleman integrals), motivated by the problem of explicitly finding rational points on curves. In particular, I will describe the link between p-adic heights and double integrals and give a few classes of hyperelliptic curves where "quadratic Chabauty" gives us a finite set of p-adic points containing all rational points. This is joint work with Netan Dogra.

R. Sczech constructed an explicit cocyle in the group cohomology of GL(n) that parametrizes values of partial zeta functions of totally real fields. We generalize Sczech's method to extensions of imaginary quadratic fields, in this case giving values of certain Hecke L-functions previously considered by Colmez. If time permits, we will also discuss work in progress interpolating these values to a p-adic L-function, following the method of Charollois and Dasgupta. This is joint work with J. Flórez and C. Karabulut.

La conjecture de Gan-Gross-Prasad relie la non-trivialité d'une valeur spéciale de la dérivée d'une certaine fonction $L$ à la non-trivialité d'une fonctionnelle sur un groupe de Chow d'une variété de Shimura. On est très loin d'une solution de cette conjecture au-delà du cas de la dimension un. Je vais expliquer une variante de cette conjecture (suggéré par Wei Zhang) qui a des meilleurs chances d'être résolue dans un temps raisonnable. Il s'agit d'un travail en commun avec B. Smithling et W. Zhang.

In a joint work with F. Barroero, we proved that, given n independent points on the Legendre family of elliptic curves of equation $Y^2=X(X-1)(X-c)$ with coordinates algebraic over Q(c), there are at most finitely many specializations of c such that two independent relations hold between the n points on the specialized curve. This result fits in the framework of the so-called Unlikely Intersections. We will see analogues of this result in certain families of abelian varieties and in a family of split semi-abelian varieties. We will finally explain some applications of these results to the study of the solvabilty of almost-Pell equations in polynomials.

Le célèbre théorème d'irréductibilité de Hilbert peut être reformulé de la manière suivante: pour tout morphisme $C\rightarrow \mathbb A^1$, où C est une courbe algébrique (éventuellement réductible), n'admettant pas de section rationnelle, l'ensemble Q des points rationnels de la droite $\mathbb A^1$ ne coincide pas avec l'image des points rationnels de C. Dans cet exposé, on considère le cas d'un morphisme génériquement fini $X \rightarrow Y$, où $X,Y$ sont deux variétés quelconques. Dans un travail en collaboration avec U. Zannier, nous avons construit les premiers exemples où la conclusion du théorème de Hilbert reste valable et $Y$ n'est pas une variété (géométriquement) rationnelle.

La conjecture de Mordell, démontrée par G. Faltings, dit que une courbe de genre au moins $2$ sur un corps de nombres $k$ a seulement un nombre fini de points $k$-rationnels. Malheureusement, la preuve de cette conjecture n'est pas effective, c'est-à-dire elle ne donne pas des bornes sur la 'taille' de points rationnels, ni une méthode pour trouver une telle borne. Dans cet exposé je parlerai d'un travail en collaboration avec F. Veneziano et E. Viada dans lequel on démontre, en particulier, une borne explicite pour la hauteur de Néron-Tate des points rationnels d'une courbe de genre au moins 2 plongée dans $E^N$ où E est une courbe elliptique sans CM et ayant groupe de Mordell-Weil de rang 1. Ce résultat peut être utilisé pour trouver tous les points rationnels sur beaucoup de courbes explicites. Je présenterai aussi certaines de ces applications.

Je vais parler de mes travaux en cours avec Yang Cao et Fei Xu. Soit $X$ une variété lisse géométriquement intègre définie sur un corps de nombres. Il est connu que si $X$ satisfait l'approximation faible avec l'obstruction de Brauer-Manin, alors il en va de même pour ses ouverts avec complémentaire de codimension $\geq2$ d'après la pureté du groupe de Brauer. Par contre ce n'est pas toujours le cas pour l'approximation forte. En conséquence de la dualité de Poitou-Tate, l'approximation forte (et faible) pour tout variété abélienne est contrôlée par son groupe de Brauer si son groupe de Tate-Shafarevich est fini. Je vais expliquer comment trouver de variétés abéliennes $A$ de dimension quelconque telles que $A\setminus O$ ne satisfont pas l'approximation forte avec l'obstruction de Brauer-Manin. La preuve généralise un argument de Harari et Voloch.

Let $g>1$ be an integer. Suppose that $C$ is a genus $g$ hyperelliptic curve that is canonically embedded into its $g$-dimensional jacobian $J$ in such a way that one of the Weierstrass points goes to zero. For each ``finite" point $P$ of $C$ we describe explicitly the Mumford representations of all $2^{2g}$ halves of $P$ in $J$. As an application, we prove that the genus 2 curve $y^2=x^5-x+1$ does not contain points of odd order >1.

Le symbole de Legendre-Jacobi-Kronecker permet de définir l'application partielle n --> (a/n). Cette application est-elle périodique ? Répondre à cette interrogation permet de définir de nouveaux objets qui font intervenir fonctions multiplicatives, suites automatiques et pliage de papier, de démontrer certaines de leurs propriétés et de proposer des questions non encore résolues. [arxiv.org/abs/1608.03957]

Considérons une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{Q}_p$, et supposons que l'intégrale définissant la transformée de Mellin (ou intégrale zêta) de $f$ ne soit pas convergente. Nous dirons que $f$ a une ``transformée de Mellin faible'' $M_f(s)$ si pour toute fonction test $\phi$ dans $C_c^\infty(\mathbb{R}^*)$ ou $C_c^\infty(\mathbb{Q}_p^*)$, on a l'égalité $\mathrm{Mell}(\phi \star f,s) = \mathrm{Mell}(\phi,s)M_f(s)$. Nous montrons que si $f$ est une fonction de la forme $f(x) = \psi(\frac a2x^2+bx)$, où $\psi$ est un caractère additif sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{Q}_p$ et $a$ est inversible, alors la transformée de Mellin faible de $f$ existe pour $\Re(s) >0$, satisfait une équation fonctionnelle et ne s'annule que pour $\Re(s) = \frac 12$.

Faltings et Hriljac ont démontré un analogue arithmétique de l'inégalité d'indice de Hodge pour les surfaces arithmétiques, en utilisant la hauteur de Néron-Tate dans la jacoblienne. Dans cet exposé, j'explique une nouvelle démonstration de cette inégalité par accouplement de mesures boréliennes sur $\mathbb R$. Basé sur cette idée et en s'appuyant sur des résultats concernant le transport des mesures uniformes entre les corps convexes, une nouvelle généralisation aux dimensions supérieures de l'inégalité d'indice de Hodge est proposée.

Les codes linéaires sont des objets combinatoires qu'on peut voir comme un analogue discret des réseaux euclidiens. Il y a aussi des liens intéressants entre codes et courbes algébriques. On se propose ici d'approfondir ce faisceau de relations en présentant un théorème de Riemann-Roch, et surtout, une théorie des pentes pour les codes. Ceci peut se faire de façon tout à fait élémentaire dans le langage des treillis. Un résultat remarquable est que le produit tensoriel de deux codes semistables est semistable (la question analogue pour les réseaux euclidiens étant encore ouverte).

I will talk about recent work an averaged version of Colmez' conjecture with applications to the André-Oort conjecture, and discuss some related work on derivatives of $L$-functions by Zhiwei Yun and Wei Zhang using Drinfeld's moduli of Shtukas, and by Xinyi Yuan using Shimura curves.