Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

In the theory of modular forms, Eisenstein series plays an important role because of its explicit Fourier coefficients. It is well-known that the algebra of modular forms on $SL_2(\mathbb{Z})$ is generated by the classical Eisenstein series $E_4$ and $E_6$. For a fixed weight $k$, Kohnen and Zagier showed that it suffices to consider the span of the products of two Eisenstein series $E_\ell$ and $E_{k - \ell}$. In this talk, we will look at a related question, first raised by Tonghai Yang, about the span of the restrictions of coherent Eisenstein series. We will discuss the construction of these Eisenstein series, its relationship to special values of L-function, and other related open problems.

Soient $\mathfrak{A}_g$ le schéma abélien universel sur l'espace de modules (avec niveau), $s$ un point de $\mathfrak{A}_g$ et $\Sigma$ l’orbite de Hecke généralisée de $s$. Selon la conjecture d’André-Pink-Zannier, une sous-variété$Y$ de~$\mathfrak{A}_g$ est faiblement spéciale si $Y\cap\Sigma$ est Zariski dense dans $Y$. Cette conjecture est démontrée dans plusieurs cas, notamment quand $Y$ est une courbe et que $s$ est un point algébrique. Dans cet exposé, je donnerai les interprétations géométriques (modulaires) de l’orbite de Hecke généralisée et des sous-variétés faiblement spéciales, et j’expliquerai la stratégie de la démonstration (y compris l’obstacle pour $Y$ en dimension supérieure).

Lorsqu’une forme modulaire de Hilbert en caractéristique $p$ de poids 1 et niveau premier à $p$, qui est propre pour les opérateurs de Hecke, ne se relève pas en une forme de poids 1 en caractéristique 0, la représentation galoisienne associée peut être, a priori, ramifiée aux places divisant $p$. Nous démontrons qu’elle ne l’est pas, au moins sous l’hypothèse qu’elle est irréductible, généralisant ainsi un résultat de Gross et Coleman-Voloch concernant les formes modulaires classiques. Il s’agit d'un travail en collaboration avec Gabor Wiese.

Pour une surface algébrique $X$, on s'intéresse à l'ensemble des points rationnels $X(\mathbb Q)$. Est-il non-vide ? Est-il infini ? Est-il dense pour la topologie de Zariski ? Nous nous intéresserons à deux types de surfaces: les surfaces elliptiques et les surfaces del Pezzo. Les surfaces elliptiques peuvent être vues comme des familles à un paramètre de courbes elliptiques. La densité des points rationnels de ce type de surfaces est encore mal connu en général. Cependant, un résultat de Helfgott conditionnel à plusieurs conjectures (conjecture de parité, squarefree conjecture et conjecture de Chowla) prédit leur densité pour des surfaces qui ne sont pas isotriviales. Les surfaces del Pezzo sont définies par le fait que le diviseur anti-canonique est ample. Elles sont classifiées par leur degré $1\leqslant d\leqslant 9$, le nombre d'auto-intersection de leur diviseur anticanonique. Lorsque le degré est supérieur à 3, on sait que l'existence d'un point rationnel garantit la densité de ces points. On a des résultats partiels pour les degré 1 et 2. Dans cet exposé, nous établirons les liens entre ces surfaces et verrons comment ceux-ci permettent l'obtention de davantage de résultat de densité pour les unes où les autres de ces surfaces.

Dans cet expose, on va démontrer la conjecture de Mordell-Lang dynamique pour les applications polynomiales du plan affine, c'est-à-dire l'énoncé suivant : Soit $f$ un endomorphisme polynomial du plan affine défini sur un corps de nombres, $p$ un point fermé et $C$ une courbe du plan. Alors l'ensemble des entiers naturels~$n$ tels que $f^n(p)$ est contenu dans~$C$ est une union finie de progressions arithmétiques.

The generalized circle problem asks for the number of lattice points of an $n$-dimensional lattice inside a large Euclidean ball centered at the origin. In this talk I will discuss the generalized circle problem for a random lattice of large dimension $n$. In particular, I will present a result that relates the error term in the generalized circle problem to one-dimensional Brownian motion. The key ingredient in the discussion will be a new mean value formula over the space of lattices generalizing a formula due to C. A. Rogers. This is joint work with Andreas Strömbergsson.

Darmon points (also known as Stark-Heegner points) are a collection of conjectural generalizations of Heegner points on modular elliptic curves. Algorithms for their explicit calculation are useful in providing numerical evidence supporting their conjectured rationality, and can be used in practice as an efficient method for computing algebraic points. In this talk I will recall Greenberg's construction of Darmon points for curves over totally real number fields, and present some (co)homological methods that allow for their effective computation. I will also report on some new constructions for curves defined over number fields of arbitrary signature. This is joint work with Marc Masdeu and Haluk Sengun.

Bien que Charles Hermite soit surtout connu en théorie des nombres pour sa preuve de la transcendance de $e$ et le fait qu'il ait raté de peu le théorème de Dirichlet, il a imaginé dès le début de sa carrière un programme pour aborder un problème crucial des années 1840-1860, celui du prolongement de résultats sur les entiers de Gauss à d'autres nombres algébriques. L'exposé évoquera quelques aspects de ce programme, en particulier ses liens à l'approximation diophantienne et à la vision générale qu'Hermite avait de l'activité mathématique.

In this short note, we use an idea of Buzzard and give an elementary construction of a $p$-adic family of Hilbert Modular eigenforms. In previous work of the author, results on local constancy of slope $\alpha$ spaces of Hilbert modular forms were obtained in the spirit of the Gouvea-Mazur conjectures. Assuming the dimensions of the slope $\alpha$ spaces is 1, we are able to obtain a $p$-adic family of Hilbert Modular Forms.

Soit $K$ un corps discrètement valué complet à corps résiduel $k$ de caractéristique $p>0$. On dispose d'une théorie de dualité pour la cohomologie de $K$ à coefficients dans les $K$-schémas en groupes finis commutatifs dans chacun des cas suivants : car($K$)=0 et $k$ fini (Tate), car($K$)=$p$ et $k$ fini (Shatz), car($K$)=0 et $k$ algébriquement clos (Bégueri). Dans cet exposé, on traitera le cas car($K$)=$p$ et $k$ algébriquement clos.

Soit $R$ un anneau strictement local, complet pour une valuation discrète, et soit $K$ son corps de fractions. Soit $X$ une variété propre et lisse sur $K$. Inspiré par la célèbre formule de Grothendieck-Lefschetz et les travaux de Denef-Loeser et Nicaise-Sebag, Nicaise a conjecturé que le volume rationnel de la variété $X$ (une mesure pour l'ensemble des points rationnels sur $X$) est égal à la trace de l'opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie $\ell$-adique de $X$, si $X$ est cohomologiquement modérée. Cette égalité était déjà connue en égale caractéristique 0, pour les courbes et pour les variétés abéliennes. Dans cet exposé, je démontrerai cette conjecture pour une importante classe de variétés cohomologiquement modérées en caractéristique mixte, en utilisant les techniques de la géométrie logarithmique.

J'expliquerai, dans le cas des \og types de la série discrète\fg, un raffinement de la formule donnée par la conjecture de Breuil-Mézard sur les multiplicités des anneaux de déformations de représentations potentiellement semi-stables, et je donnerai une application de ce raffinement à l'existence de congruences entre certaines formes modulaires.

As the culmination of work of many mathematicians, Yuan has obtained a very general equidistribution result for small points in arithmetic varieties. Roughly speaking Yuan's theorem states that given a « very » small generic sequence of points, with respect to a positive hermitian line bundle, the associated sequence of measures converges weakly to the measure associated to the hermitian line bundle. Here very small means that the height of the points converges to the lower bound of the essential minimum given by Zhang inequalities. The existence of a very small generic sequence is a strong condition on the arithmetic variety because it implies that the essential minimum attains its lower bound. We will say that a sequence is small if the height of the points converges to the essential minimum. By definition every arithmetic variety contains small generic sequences. We show that for toric line bundles on toric varieties arithmetic Yuan's theorem can be splitted in two parts. A) Given a small generic sequence of points, with respect to a positive hermitian line bundle, the associated sequence of measures converges weakly to a measure. B) If the sequence is very small, the limit measure agrees with the measure associated to the hermitian line bundle.

Let $K$ be a number field and let $J_K$ be its group of ideles. If a nonzero rational number is a norm from $K^*$, then it is a norm from $J_K$. We say that the Hasse norm principle holds for $K/\mathbf Q$ if the converse holds, i.e. if every rational number which is a norm from $J_K$ is in fact a norm from $K^*$. This talk is about the proportion of rational numbers which are counterexamples to the Hasse norm principle for $K/\mathbf Q$. Using work of Odoni, we give asymptotic formulae for the counting functions for rational numbers that are norms from $J_K$ and for rational numbers that are norms from $K^*$. We calculate the proportion of rational numbers that are norms from $J_K$ which fail to be norms from $K^*$. We show that this proportion is $1-1/n$, where $n$ is the (finite) index of N($K^*$) in N($J_K$)$\cap \mathbf Q^*$. This is joint work with Tim Browning.

Dans cet exposé je parlerai d'un lemme élementaire sur l'existence de points réels de petite hauteur sur une variété algébrique. J'expliquerai la motivation de ce lemme dans une démonstration de la conjecture d'André-Oort.

Si $X$ est une variété de Shimura, les formes modulaires $p$-adiques pour $X$, au sens de Hida, sont définies en utilisant la tour d'Igusa, qui existe seulement au-dessus du lieu ordinaire de~$X$. Dans cet exposé j'expliquerai un analogue de la tour d'Igusa et de la théorie de Hida pour certaines variétés de Shimura unitaires sans lieu ordinaire.

Let $A$ be an abelian variety defined over a number field. The algebraic monodromy groups $H_\ell(A)$ are an $\ell$-adic analogue of the Hodge group of $A_\mathbb{C}$, and they encode a great deal of information about the Galois representations associated with $A$. A natural question is whether we can describe $H_\ell(A \times B)$ in terms of $H_\ell(A)$ and $H_\ell(B)$. While the answer is negative in general, I will describe sufficient conditions (involving the dimensions and endomorphism algebras of $A$ and $B$) to ensure that $H_\ell(A \times B)$ is isomorphic to $H_\ell(A) \times H_\ell(B)$, and show how this can be used to prove the Mumford-Tate conjecture for \textit{nonsimple} abelian varieties of dimension up to 5.

Le problème du logarithme discret consisteà résoudre l'équation $g^x=h$ où $g$ et $h$ sont deux éléments d'un groupe. Les deux exemples qui ont la plus grande importance cryptographique sont celui des groupes multiplicatifs des corps finis et celui des courbes elliptiques. Pour les corps finis à $p^n$ éléments avec $p$ premier et $n$ petit, le meilleur algorithme connu est le crible algébrique, qui utilise de manière importante les propriétés des corps de nombres. En 2006, Joux, Lercier, Smart et Vercauteren ont proposé d'accélérer les calculs à l'aide des automorphismes des corps de nombres, mais ils se sont limités à un cas particulier. Dans cet exposé, nous rappelons le crible algébrique, en mettant l'accent sur sa partie mathématique, en particulier en définissant ce qu'on appelle logarithmes virtuels. Cela va nous permettre de prouver des résultats liés à l'utilisation des automorphismes. Nous finirons par regarder $U/U^{\ell}$ comme un espace vectoriel où $U$ est le groupe des unités d'un corps de nombres et $\ell$ un nombre premier. Cela permet de montrer que certains logarithmes discrets sont nuls et d'avoir une accélération supplémentaire.

In this talk I will discuss joint work with L. Dieulefait, S.W. Shin and G. Wiese on compatible systems of symplectic Galois representations attached to automorphic forms, leading to the realisation as Galois groups over $\mathbb{Q}$ of groups of the form $\mathrm{PSp}_{2n}(\mathbb{F}_{\ell^d})$ or $\mathrm{PGSp}_{2n}(\mathbb{F}_{\ell^d})$ for a prefixed exponent~$d$, a prefixed integer~$n$, and a positive density set of prime numbers~$\ell$.

Étant donnée une variété de dimension 3, une représentation de son groupe fondamental dans $\mathrm{SL}_2$ est dite rigide si son espace tangent dans la variété des caractères est nul. On montre que pour presque tous les remplissages de Dehn d'un n\oe{}ud, toutes ses représentations sont rigides. Cette question s'est posée dans le cadre de problèmes asymptotiques en théorie quantique des champs topologique, sa preuve s'appuie sur des progrès récents en géométrie diophantienne et pose de nouvelles questions de type Zilber-Pink.

Les corps quasi algébriquement clos, ou corps $C_1$, sont définis par une condition de petit degré : le corps $K$ est $C_1$ si toute hypersurface de l'espace projectif $\mathbb{P}^n$ de degré $d$ admet un point $K$-rationnel dès que $d\leq n$. Je définirai dans cet exposé une notion de ``petit degré torique'' généralisant cette condition pour les hypersurfaces de variétés toriques projectives simpliciales déployées. \smallskip J'utiliserai cette notion pour démontrer un cas particulier de la conjecture $C_1$ de Koll\'{a}r, Manin et Lang : toute variété lisse et séparablement rationnellement connexe plongée comme hypersurface d'une variété torique projective simpliciale et déployée, possède un petit degré torique et donc admet un point rationnel sur tout corps $C_1$.

Le but de l'exposé est d'expliquer comment la théorie des \og vecteurs localement analytiques\fg~ permet de généraliser la théorie de Sen (travail en commun avec P.~Colmez).