Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

We shall give a quick survey on some advances on the construction of cohomology theories via universal representations.

On introduit le complexe de Cousin d'un fibré vectoriel automorphe sur une variété de Siegel. C'est l'analogue du complexe de Cousin d'un fibré vectoriel sur une variété de drapeau (kempf). Le complexe de Cousin permet de comprendre les pentes des opérateurs de Hecke. On déduit des théorèmes d'annulation. Le complexe de Cousin s'interpole aussi p-adiquement en le poids du fibré automorphe. On en déduit des propriétés des représentations Galoisiennes associées à des formes automorphes non régulières, auto-duales. Travail en commun avec G. Boxer.

Après un exposé rapide de points moins connus de la preuve initiale de Vinogradov sur les sommes de trois nombres premiers, nous discuterons des résultats récents obtenus avec Kasi Visvanadham. Nous présenterons en particulier une famille de formes bilinéaires pour les nombres premiers ou la fonction de Moebius qui mène à des majorations très précises par exemple de $\sum_{X < p \le X+X^{9/10}}e(pa/q)$ pour $q\le X^{1/10}$. La méthode est flexible et s'adapte à d'autres cas que nous discuterons, selon le temps disponible, ainsi qu'une ou deux applications.

Je présenterai un travail en commun avec Arthur Forey et Emmanuel Kowalski (enfin sur arXiv !) dans lequel nous obtenons un théorème d'équirépartition pour les transformées de Fourier discrètes des fonctions traces de faisceaux pervers sur un groupe algébrique commutatif sur un corps fini. La preuve repose sur un résultat d'annulation générique de la cohomologie des twists d'un faisceau pervers ; il permet de construire les mesures gouvernant l'équirépartition par le biais du formalisme tannakien. Malgré ces gros mots, j'essaierai de rendre l'exposé le plus accessible possible, en me concentrant surtout sur des exemples de ce que le théorème dit en pratique.

Deligne a amélioré l'équivalence de Fontaine-Winterberger en donnant une description de la catégorie des extensions finies séparables de ramification bornée d'un corps local. Je discuterai une généralisation en dimension supérieure de ce résultat de Deligne.

Nous discuterons un graphe qui décrit les propriétés de divisibilité des entiers par des nombres premiers. En montrant que ce graphe possède une propriété d'expansion locale forte presque partout, nous obtiendrons plusieurs conséquences dans la théorie analytique des nombres, au-delà de la barrière de parité. Par exemple: pour $\lambda$ la fonction de Liouville, $$\frac{1}{\log x} \sum_{n\leq x} \frac{\lambda(n) \lambda(n+1)}{n} = O\left(\frac{1}{\sqrt{\log \log x}}\right),$$ ce qui est plus fort qu'un résultat bien connu de Tao (2015); comme lui, nous utilisons des résultats de Matomäki et Radziwill sur la moyenne de $\lambda(n)$ dans des intervalles courts. Nous prouvons aussi, par exemple, que $\lambda(n+1)$ est $0$ en moyenne à presque toute échelle quand $n$ est restreint aux entiers avec exactement $\Omega(n)=k$ diviseurs premiers, pour une valeur "populaire" arbitraire de $k$ (i.e., $k = \log \log N + O(\sqrt{\log \log N})$ pour $n\leq N$).

Je parlerai d'un travail concernant la cohomologie à coefficients dans $\mathbb{F}_p$ des tours de courbes de Shimura. Il s'agit de mesurer la croissance des sous-espaces d'« anciennes classes » lorsque le niveau augmente. Cette croissance est mesurée par la dimension de Gelfand-Kirillov d'une représentation de $\mbox{GL}_2$. Nous la calculons lorsque le corps reflex est non ramifié en $p$ et l'algèbre de quaternions déployée en $p$. Je donnerai quelques conséquences ainsi que des éléments de démonstration. Il s'agit d'un travail en commun avec Christophe Breuil, Florian Herzig, Yongquan Hu et Stefano Morra.

Dans son article, 'On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties', Peter Scholze a introduit (pour les groupes unitaires et symplectiques) une construction purement topologique des classes de cohomologie 'd'Eisenstein' sur les espaces localement symétriques d'un groupe réductif sur Q, provenant de la cohomologie 'intérieure' des quotients arithmétiques des sous-groupes de Levi de ses paraboliques maximaux. Ceci repose exclusivement sur la compactification de Borel-Serre, et donne une telle construction dans des cas qui n'ont pas été obtenus par la théorie analytique de la cohomologie d'Eisenstein. Je décrirai la construction, dans le cas le plus général, en particulier avec des systèmes de coefficients. Si le temps le permet (j'en doute), j'expliquerai aussi pourquoi la construction semble limitée aux paraboliques maximaux.

I will report on a joint work with Klingler and Ullmo. Given a polarizable variation of Hodge structures on a smooth quasi-projective variety S (e.g. the one associated to a family of pure motives over S), Cattani, Deligne and Kaplan proved that its Hodge locus (the locus of closed points of S where exceptional Hodge tensors appear) is a *countable* union of closed algebraic subvarieties of S. I will discuss when this Hodge locus is actually algebraic. If time permits I will explain how a similar circle of ideas can be used to produce a genus four curve of ``Mumford’s type'' (thus answering a question of Gross/Serre).

Dans cet exposé nous allons décrire une approche explicite qui permet de calculer les types automorphes inertiaux pour ${\rm GL}_2$. Nous donnerons ensuite quelques applications de cet algorithme à des problèmes diophantiens ou de nature arithmétique.

Manin's conjecture on rational points suggests several different conjectures on moduli spaces of curves on algebraic varieties. I will discuss some of these, before focussing on joint work with Will Sawin (arXiv:1711.10451) that makes some progress towards one of them.

I will discuss: a. The classical notion of heights associated to pairs of algebraic cycles homologous to 0. b. Biextensions (classical and exotic). c. Relation between heights and adelic volumes (Tamagawa numbers).

I will present a new finiteness result for the Brauer group of abelian varieties over finitely generated fields of positive characteristic. More precisely, I will explain how to prove in this case that the transcendental Brauer group has finite exponent. The proof uses the crystalline Tate conjecture, proven by de Jong, and an ad-hoc comparison between the fppf cohomology of Zp(1) and the crystalline cohomology over imperfect fields. In the end, I will also explain why certain p-divisible p-torsion classes of the Brauer group over the algebraic closure (which are not in the transcendental Brauer group by the main theorem) give an obstruction for the surjectivity of the specialisation morphism of the Néron--Severi group.

Les problèmes de Linnik, résolus par Duke il y a une trentaine d’années, portent sur l’équirépartition des orbites toriques de grand discriminant dans les espaces homogènes associés au groupe des unités des algèbres de quaternions. L’exemple le plus concret est celui de la répartition uniforme des points entiers sur la sphère, parfois appelés points de Linnik (on peut également penser aux points CM sur la courbe modulaire). La résolution complète des problèmes de Linnik, achevée par Michel et Venkatesh, a marqué une période d’échange fructueuse entre la théorie ergodique et les formes automorphes. Par leur description comme orbite torique, les points de Linnik reçoivent une action transitive du groupe de Picard d’un ordre quadratique. Dans les actes de l’ICM en 2006, Michel et Venkatesh proposent une conjecture, dite ``de mélange”, qui mesure la complexité de cette action, et qui se traduit par un énoncé d'équirépartition sur le groupe produit G x G; il s’agit donc d’un raffinement quadratique des problèmes de Linnik. Après avoir expliqué la progression de ces idées, j’expliquerai une preuve de la conjecture, conditionnelle sous l’hypothèse de Riemann généralisée, qui fait intervenir un joli mélange d'objets en théorie analytique des nombres: les formes automorphes et leurs périodes, un point de vue probabiliste sur le comportement des valeurs spéciales des fonctions L en familles, ainsi que les valeurs moyennes des fonctions multiplicatives. Travail en commun avec Valentin Blomer et Ilya Khayutin.

Par un théorème de Belyi, toute courbe algébrique sur un corps de nombres peut être réalisée comme la compactifiée $X_\Gamma$ du quotient du demi-plan supérieur par un sous-groupe $\Gamma$ d’indice fini dans ${\rm SL}_2({\bf Z})$. Cette situation est encodée par un dessin d’enfant, c’est-à-dire un graphe avec des propriétés simples (l’ensemble des sommets est bicolorié ; les couleurs doivent être différentes aux extrémités d’une arête donnée ; l’ensemble des arêtes associées à un sommet donné est muni d’une action transitive de ${\bf Z}$). Les pointes de la courbe $X_\Gamma$ correspondent aux sommets de ce graphe. Comment déterminer si un diviseur $D$ de degré zéro à support dans l’ensemble $P_\Gamma$ des pointes est de torsion dans la jacobienne $J_\Gamma$ de $X_\Gamma$ ? Le théorème de Manin-Drinfeld affirme que c’est toujours le cas si $\Gamma$ est un sous-groupe de congruence. Cette question, déjà considérée par Scholl d’une part, et K. Murty et Ramakrishnan d’autre part, est intimement liée à la détermination explicite de la {\it classe d’Eisenstein} associée à $D$ : la classe $E_D$ dans ${\rm H}_1(X_\Gamma,P_\Gamma;{\bf R})$ telle que $\int_{E_D} \omega=0$ pour toute forme différentielle holomorphe $\omega$ sur $X_\Gamma$. Nous verrons comment reformuler ce problème de façon agréable lorsque $\Gamma$ est contenu dans $\Gamma(2)$, et lorsqu’on fait usage de certaines jacobiennes généralisées à la place de $J_\Gamma$. La réponse est de nature analytique et fait intervenir (ce que certains appellent) la fonction zeta de Kloosterman. On verra en application ce qui se passe pour la courbe de Fermat ($X^N+Y^N=1$), déjà considérée par Rohrlich, Vélu, Posingies et pour le revêtement d’Heisenberg de la courbe de Fermat, introduit par Murty et Ramakrishnan. Travail joint avec D. Banerjee.

We construct a motivic cohomology theory of singular schemes using the relationship with (higher) algebraic K-theory as a guiding principle. In equicharacteritics, this theory is controlled by (cdh-sheafified) dlog forms and syntomic cohomology. This is joint work with Matthew Morrow.

Conjecturalement, 1 et les valeurs aux entiers impairs $s\geq 3$ de la fonction zêta de Riemann sont des nombres linéairement indépendants sur $\mathbb Q$ (et ces valeurs sont donc irrationnelles). Presque rien n'était connu dans cette direction jusqu'à ce qu'Apéry prouve en 1978 que $\zeta(3)$ est irrationnel. Puis Ball et Rivoal ont démontré en 2001 que pour tout $\epsilon > 0$, au moins $(1-\epsilon) (\log s) / (1+\log 2)$ nombres parmi 1, $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, ..., $\zeta(s)$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb Q$, lorsque $s$ est impair et suffisamment grand par rapport à $\epsilon$. Dans cet exposé j'expliquerai comment remplacer ce minorant par $0.21 \sqrt{s/\log s}$. La stratégie consiste à remplacer les constructions explicites par l'utilisation d'un lemme de Siegel (qui apparaît en transcendance pour construire des fonctions auxiliaires).

In this talk I will briefly explain the history of the André-Oort conjecture and its resolution last year after the final steps were made in work of Pila, Shankar, Tsimerman, Esnault and Groechenig as well as Binyamini, Yafaev and myself. I will explain the main innovations in our paper which rely on techniques from transcendental number theory and are inspired by model theoretic questions.

On décrira un analogue des schémas formels en géométrie d'Arakelov, et l'on donnera des applications à des théorèmes de finitude pour certaines algèbres de séries formelles à coefficients entiers, ainsi qu'au groupe fondamental des surfaces arithmétiques. Les preuves seront inspirées de résultats de Nori en géométrie algébrique et analytique. Travail en commun avec Jean-Benoît Bost.

De nombreuses questions de théorie des nombres ont un analogue naturel, de nature plus géométrique, formulé dans un anneau de Grothendieck des variétés. Par exemple, le théorème de Bertini sur les corps finis, dû à Poonen, a une version motivique, qui est un résultat de Vakil et Wood, et de plus aucun de ces deux résultats ne peut être déduit de l'autre. L'objectif de cet exposé est de motiver et de décrire une manière conjecturale de comparer les deux types d'énoncés, en les reformulant en termes de la convergence de fonctions zêta de variétés dans diverses topologies. Nous mentionnerons plusieurs exemples où notre conjecture est vérifiée, dont l'un concerne la version motivique de la conjecture de Batyrev-Manin. C'est un travail en collaboration avec Sean Howe et Ronno Das.

In 2001 Croot resolved an old conjecture of Erdos and Graham, proving that in any finite colouring of the positive integers there is a (non-trivial) monochromatic solution to $\frac{1}{n_1}+\cdots+\frac{1}{n_k} = 1$ with all $n_i$ distinct. A natural generalisation, also conjectured by Erdos and Graham, is that in fact any set of positive density contains such a solution. We will discuss the proof of this conjecture, which extends Croot's method, and uses Fourier analysis coupled with elementary number theoretic and combinatorial arguments. We will also review several still open conjectures concerning unit fractions.

L’étude de la répartition des nombres premiers dans des progressions arithmétiques fait apparaître l’importance des fonctions L associées. Nous utilisons les zéros de ces fonctions L pour minorer des moments de moments de la répartition des nombres premiers dans des progressions arithmétiques et déterminer un modèle probabiliste qui est soutenu par l’éventuelle indépendance linéaire des parties imaginaires des zéros. J’expliquerai comment nous nous affranchissons de l’hypothèse d'indépendance linéaire pour obtenir des minorations par des bornes prévues par notre modèle probabiliste. C'est un travail en collaboration avec Daniel Fiorilli (Université Paris-Saclay).

Nous généralisons des travaux de Hida (Israel J. Math 2000) et Burungale-Clozel (arxiv 2019) sur la théorie d'Iwasawa cyclotomique des anneaux de déformations de Mazur et de Galatius-Venkatesh et nous formulons des conjectures sur ces anneaux de déformation. Travail avec E. Urban.

Soit C une courbe lisse sur un corps de nombres k, de corps des fonctions K. Soit G un groupe algébrique commutatif sur K. Nous étudions les groupes de Tate-Shafarevich de G relatifs aux complétions de K vis à vis des points fermés de C. Nous montrons leur finitude quand G est défini sur k. Nous donnons aussi des exemples où ces groupes sont non triviaux quand G est un tore, ainsi que divers autres énoncés d'annulation et de finitude (travail en commun avec T. Szamuely).

Il y a une dizaine d'années Ozaki a montré le résultat suivant : étant donné un p-groupe fini G, il existe un corps de nombres totalement imaginaire K pour lequel le groupe de Galois de sa p-tour de Hilbert est isomorphe à G. Dans un travail récent avec Farshid Hajir (UMASS) et Ravi Ramakrishna (Université Cornell), nous avons revisité et simplifié la preuve de Ozaki, ce qui nous a permis de relâcher la condition sur la signature de K et de contrôler le degré et la ramification de K/Q. Dans cet exposé, je donnerai les éléments clefs de notre preuve, et tenterai de faire ressortir la notion d'unités de Minkowski. Si le temps le permet, j'aborderai la question de la présence des unités de Minkowski quand G est infini.

Conjecturalement, 1 et les valeurs aux entiers impairs $s\geq 3$ de la fonction zêta de Riemann sont des nombres linéairement indépendants sur $\mathbb Q$ (et ces valeurs sont donc irrationnelles). Presque rien n'était connu dans cette direction jusqu'à ce qu'Apéry prouve en 1978 que $\zeta(3)$ est irrationnel. Puis Ball et Rivoal ont démontré en 2001 que pour tout $\epsilon>0$, au moins $(1-\epsilon) (\log s) / (1+\log 2)$ nombres parmi 1, $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, ..., $\zeta(s)$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb Q$, lorsque $s$ est impair et suffisamment grand par rapport à $\epsilon$. Dans cet exposé j'expliquerai comment remplacer ce minorant par $0.21 \sqrt{s/\log s}$. La stratégie consiste à remplacer les constructions explicites par l'utilisation d'un lemme de Siegel (qui apparaît en transcendance pour construire des fonctions auxiliaires).

Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique. Il existe $c=c(P)>0$, tel que $P(n)$ ait un facteur premier supérieur à $n^{1+c}$ pour une proportion positive d'entiers $n$. Il s'agit d'un travail avec James Maynard.

We describe several recent results on so called maximal operators on Weyl sums $$S(u;N) =\sum_{1\le n \le N} \exp(2 \pi i (u_1n+\cdots+u_dn^d)),$$ where $u = (u_1,\ldots,u_d) \in [0,1)^d$. Namely, given a partition $ I \cup J \subseteq \{1,\ldots,d\}$, we define the map $$ (u_i)_{i \in I} \mapsto \sup_{u_j,\, j \in J} |S(u;N)| $$ which corresponds to the maximal operator on the Weyl sums associated with the components $u_j$, $j \in J$, of $u$. We are interested in understanding this map for almost all $(u_i)_{i \in I} $ and also in the various norms of these operators. Questions like these have several surprising applications, including outside of number theory, and are also related to restriction theorems for Weyl sums.

We will explain some results in the direction of a p-adic Narasimhan-Seshadri correspondence for vector bundles with numerically flat reduction (obtained jointly with Christopher Deninger) and some recent contributions to this problem relying on Scholze's diamonds (joint work with Lucas Mann).