Séminaire de théorie des nombres de l'IMJ-PRG

For an absolutely unramified extension $K/\mathbb{Q}_p$ with perfect residue field, by the works of Fontaine, Colmez, Wach and Berger, it is well known that the category of Wach modules over a certain integral period ring is equivalent to the category of lattices inside crystalline representations of $G_K$ (the absolute Galois group of $K$). Moreover, by the recent works of Bhatt and Scholze, we also know that lattices inside crystalline representations of $G_K$ are equivalent to the category of prismatic $F$-crystals on the absolute prismatic site of $O_K$, the ring of integers of $K$. The goal of this talk is to present a direct construction of the categorical equivalence between Wach modules and prismatic $F$-crystals over the absolute prismatic site of $O_K$. If time permits, we will also mention a natural generalisation of these results to the case of a "small" base ring.

Let $p$ and $\ell$ be primes such that $p > 3$ and $p \mid \ell-1$ and $k$ be an even integer. Using deformation theory of Galois representations, we will give a necessary and sufficient condition for the $Z_p$-rank of the completion of the Hecke algebra acting on the space of cuspidal modular forms of weight $k$ and level $\Gamma_0(\ell)$ at the maximal Eisenstein ideal containing $p$ to be greater than $1$ in terms of vanishing of the cup products of certain global Galois cohomology classes.

The universal Weil cohomology (obtained in a recent work jointly with B. Kahn) is taking values in an abelian tensor category which is rigid but its algebra $E$ of endomorphisms of the unit is not a field, a priori. The standard hypothesis is that this absolutely flat algebra $E$ is a domain hence a field: this hypothesis is a consequence of Grothendieck’s standard conjectures but could be that it is not equivalent to the conjectures, eventually. In zero characteristic, André’s theory of motivated cycles can be recovered via the universal Weil cohomology; moreover, if $E$ is a field then $E$ is the field of rational numbers and André’s category is then universal for all Weil cohomologies. In positive characteristics, if André’s category is abelian then a similar picture holds true but $E$ could be a transcendental extension of the rational numbers. In general, the algebra $E$ could be considered as an abstract algebra of periods or universal coefficients for Weil cohomologies.

I will present a new theory of motivic cohomology for general (qcqs) schemes, which generalises the construction of Elmanto-Morrow over a field. It is related to non-connective algebraic $K$-theory via an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence. In particular, it is non-$A^1$-invariant in general, but it recovers classical motivic cohomology on smooth schemes over a field (by the work of Elmanto-Morrow) or over a Dedekind domain (by recent work in progress with Arnab Kundu). I will also discuss how one can import results from $p$-adic Hodge theory to study this theory of motivic cohomology.

Ramanujan s'est intéressé aux entiers $d$ positifs représentés par la forme quadratique ternaire $q(x,y,z)=x^2+y^2+10z^2​$. Des conditions de congruences explicites fournissent des conditions nécessaires, et la question est de savoir si elles sont suffisantes. La formule de masse de Siegel montre que les entiers localement représentés (ou ``admissibles") par $q$ sont globalement représentés soit par $q$ soit par l'autre forme dans son genre $q'(x,y,z)=2x^2+2y^2+3z^2-2xz$. En 1990, Duke et Schulze-Pillot ont montré que les $d$ admissibles suffisamment grands, sans facteurs carrés, sont en fait représentés par $q$ (et par $q'$ aussi, le nombre de représentations pour chaque forme suivant une loi quasi-uniforme). Ce résultat s'étend à toute forme quadratique ternaire définie à coefficients entiers, ainsi apportant une réponse positive (si toutefois ineffective) au 11ème problème de Hilbert. Dans leur article à l'ICM de 2006, Michel et Venkatesh ont conjecturé que si on se donne deux formes $q_1$ et $q_2$ de genre distinct, alors les entiers admissibles (sans facteurs carrés, suffisamment grands) pour les deux sont globalement simultanément représentés par $q_1$ et $q_2$ (ainsi que par chaque paire $(q_1',q_2')$ dans le produit des deux genres, en proportion quasi-uniforme). D'un point de vue ergodique -- il y a une action par un groupe de classes sur les solutions -- il s'agit d'un joining, au sens de Furstenberg, de deux problèmes distincts considérés par Duke et Schulze-Pillot. Il y a quelques années, dans un travail en commun avec V. Blomer, nous avons pu affirmer cette conjecture sous condition de supposer l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH). Dans cet exposé nous présenterons une nouvelle méthode pour aborder la conjecture de Michel--Venkatesh, développée en collaboration avec V. Blomer et M. Radziwiłł, qui remplace GRH par une condition plus faible, d'une abondance de petits nombres premiers décomposés. Un ingrédient essentiel dans la preuve est un équivalent pour un moment mollifié d'une famille de fonctions $L$ obtenu précédemment avec Blomer et Khayutin.

Dans cet exposé nous étudierons la taille du groupe de Tate-Shafarevich de certaines surfaces abéliennes sur le corps de fonctions $\mathbb{F}_q(t)$. Hindry et Pacheco ont montré que, pour les variétés abéliennes sur des corps de fonctions, la taille du Sha (dès qu'elle est finie) est majorée par la hauteur exponentielle. Nous montrerons qu'en dimension 2 leur borne est optimale. Pour cela, on construira une suite de Jacobiennes vérifiant la conjecture de BSD, puis nous calculerons explicitement leur fonction L à l'aide de sommes de caractères. Grâce à des méthodes analytiques, nous estimerons la taille de la valeur spéciale, pour retrouver finalement la borne souhaitée sur le cardinal de leur groupe de Sha.

Nous rapportons des progrès récents sur le dénombrement des solutions entières de l'équation $F(x_1,x_2,x_3)=m$, $F$ étant une forme quadratique ternaire et $m$ un entier non nul, en nous appuyant sur la méthode $\delta$ à la Heath-Brown.

La conjecture des $k$-uplets de nombres premiers par Hardy et Littlewood prédit la répartition des $k$-uplets de nombres premiers séparés par des entiers donnés. Ainsi si $k=2$, elle conjecture quel est le nombre de couples de nombres premiers jumeaux (dont la différence vaut $2$). Malgré les avancées récentes, elle est encore hors de portée mais permet de prédire des résultats importants sur les nombres premiers. En 2004, sous la conjecture de Hardy et Littlewood, Montgomery et Soundararajan ont établi une relation asymptotique pour les moments $$M_k(X,h):=\frac1X\sum_{1\leq n\leq X} \big(\psi(n+h)-\psi(n)-h\big)^k$$ où $ \psi(x)$ est la fonction sommatoire de la fonction de von Mangoldt $\Lambda.$ Pour $k$ pair, cela fournit un équivalent. Nous étudions le cas impair et en particulier le cas $k=3$. Nous présenterons les nouvelles techniques développées pour le cas $k=3$ pour obtenir un équivalent et expliquerons les heuristiques dans le cas $k$ impair.

Dans son papier fondateur de 1961, Wirsing étudie comment on peut approcher un nombre réel transcendant $\xi$ donné par des nombres algébriques $\alpha$ de degré au plus $n$, en terme de leur hauteur naïve $H(\alpha)$. Il montre que l'exposant $\omega_n^*(\xi)$ mesurant cette qualité d'approximation est au moins égal à $(n + 1)/2$. Il remarque aussi que rien ne suggère que cette estimation soit optimale, et qu'on pourrait même avoir toujours $\omega_n^*(\xi) \geq n$ (cette inégalité étant une égalité presque partout au sens de la mesure de Lebesgue). Depuis ses travaux, toutes les améliorations de la borne inférieure de Wirsing étaient de la forme $n/2 + O(1)$, jusqu'à ce que Badziahin et Schleischitz prouvent en 2021 que $\omega_n^*(\xi) \geq an$ pour tout $n \geq 4$, où $a = 1/\sqrt{3} \approx 0.577$. Dans la première partie de cet exposé, nous nous attarderons sur cet historique et les idées derrière la preuve originelle de Wirsing. Dans un second temps, nous présenterons une nouvelle approche permettant d'obtenir la borne $\omega_n^*(\xi) \geq an$, où $a = 1/(2 − \log 2) \approx 0.765$.

We consider some questions of arithmetic statistics for matrices of a given rank or fixed determinant or characteristic polynomial, whose entries are parametrised by arbitrary polynomials over the integers. In particular, some of our results improve a recent bound of V. Blomer and J. Li (2022) for counting matrices of given rank that are parametrised by monomials. Joint works with Philipp Habegger, Ali Mohammadi and Igor Shparlinski.

Je parlerai de deux problèmes. Le premier est le nombre de $\ell$-uplets de résidus quadratiques consécutifs modulo $p$, le second, le nombre de quadruplets tels que toutes les différences soient des résidus quadratiques. Le premier est connu depuis le 19ème siècle, le deuxième est lié au calcul du nombre de cliques dans un graphe de Cayley. Notre approche est géometrique. Pour les résidus quadratiques consécutifs, on se ramène à un problème de géométrie et de calcul du nombre de points sur les courbes de genre 0, 1, 5, 17, ... Pour les différences, on se ramène au calcul du nombre de points sur une surface K3. Pour les courbes en question nous démontrons que leur jacobienne est le produit de jacobiennes elliptiques et hyperelliptiques. Pour la K3 nous démontrons qu'elle est de type Kummer, ce qui démontre le dernier résultat non publié de Lydia Goncharova.

Soit $X$ une variété algébrique définie sur un corps de nombres $k$. Une question fondamentale en géométrie arithmétique est de décider si $X$ possède un point $k$-rationnel. Une condition nécessaire évidente est que $X$ ait des points locaux dans tous les complétés $k_v$ de $k$, mais cela n’est pas toujours suffisant (dans ce cas, on dit que $X$ est un contre-exemple au principe de Hasse). Nous introduisons dans cet exposé une obstruction cohomologique définie par Manin permettant de détecter le défaut du principe de Hasse, ainsi qu’une propriété appelée « approximation faible ». Nous présentons ensuite la théorie de la descente, une méthode due à Colliot-Thélène et Sansuc. L’esprit de cette dernière est englobé dans une « conjecture de descente », qui a été récemment formulée par Wittenberg. Nous discuterons les cas connus de cette conjecture-là, à savoir ceux des torseurs sous un tore, un groupe fini hyper-résoluble (Harpaz—Wittenberg, 2020 et 2022) ou un groupe linéaire connexe (L., 2023).

Let $K$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$. We prove that the arithmetic $p$-adic pro-etale cohomology of smooth partially proper spaces over $K$ satisfies a duality, as conjectured by Colmez-Gilles-Niziol. I will begin by providing some motivation for this question. Then I will explain how the cohomology is related to sheaves on the Fargues-Fontaine curve and how to deduce the result from the 'Poincare duality on the Fargues-Fontaine curve'.

Dans cet exposé, je présenterai quelques théorèmes de transfert pour la dimension cohomologique des corps. Je montrerai ensuite quelques applications à l'étude des points rationnels sur des espaces principaux homogènes de groupes linéaires et plus précisément à la conjecture de Serre II: en particulier, on verra que la conjecture de Serre II pour les corps de caractéristique nulle implique la même conjecture pour les corps de caractéristique positive, et on verra comment énoncer des variantes de la conjecture pour des corps de dimension supérieure. Il s'agit d'un travail en commun avec Giancarlo Lucchini Arteche.

Les théorèmes de dualité font partie des énoncés centraux de la géométrie arithmétique. Pour les corps $p$-adiques, le premier exemple est la dualité de Tate pour la cohomologie galoisienne des variétés abéliennes. La généralisation classique de ce résultat aux tores n’est pas assez satisfaisante. Ceci est dû à certains défauts de la cohomologie galoisienne, tels que l’absence d’une topologie naturelle sur les groupes de cohomologie. Dans cet exposé, on construit une nouvelle théorie cohomologique pour les corps $p$-adiques, grâce au groupe de Weil et aux Mathématiques Condensées. On obtient une théorie de cohomologie naturellement topologique, et on l’utilise pour étendre le résultat de Tate aux 1-motifs, en améliorant un théorème de Harari et Szamuely. Cette nouvelle dualité prend la forme d’une dualité de Pontryagin entre groupes abéliens localement compacts.

We take a section $P$ of infinite order on an elliptic surface and consider points where some multiple $nP$ is tangent to the zero section. (These are "unlikely intersections" and our consideration of them is motivated by a question in geography of surfaces. It is also analogous to the question of whether elements of an elliptic divisibility sequence are square-free.) In characteristic zero, we show finiteness and give a sharp upper bound, relying heavily on a canonical parallel transport in a family of elliptic curves (the "Betti foliation") and a certain real-analytic one-form. Although the finiteness statement looks completely reasonable in characteristic $p$, it's not clear what would replace the (non-algebraic) 1-form. Time permitting, I will explain how ongoing work with Felipe Voloch connects tangencies to the $p$-descent map and allows us to bound them in characteristic $p$ as well. Joint work with G. Urzua and F. Voloch.

J'expliquerai comment calculer la multiplicité d'une représentation $p$-adique de dimension 2 du groupe de Galois absolu de $\mathbf{Q}_p$ (suffisamment générique) dans la cohomologie complétée de la tour de Drinfeld, en l'exprimant à partir de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\textbf{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ et de celle de Jacquet-Langlands. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Pierre Colmez et Wieslawa Niziol, utilisant de manière cruciale des résultats d'un travail en commun avec Juan Esteban Rodríguez Camargo.

Class groups of global fields are generally expected to be governed by the Cohen-Lenstra heuristics, but the behavior of the $\ell$-torsion in class groups of degree-$\ell$ extensions usually behaves quite differently. We will consider the function field case: Let $\ell$ be a prime and $C$ a curve of the form $y^\ell = f(x)$ over a finite field $\mathbb{F}_q$. As the polynomial $f(x)$ varies, what can we say about the structure of the $\mathbb{F}_q$-rational divisor classes of order $\ell$ on $C$? We will discuss several constraints on this group, including a parity constraint on the $\ell$-rank that has no analogue in the number field setting, and share some experimental observations about the distribution of groups that occur. This is joint work with Wanlin Li and Eric Stubley.

A celebrated result from CM-theory is the ability to generate Hilbert class fields of imaginary quadratic fields by adjoining to them singular moduli, which are the CM-values of the classical $j$-function. In addition, the norms of these singular moduli exhibit rather surprising factorisation formulae, which were proved in the 1980s by Gross and Zagier and would continue to inspire the Gross-Kohnen-Zagier theorem. For real quadratic fields (RM-theory), Darmon and Vonk recently constructed a $p$-adic analogue of the $j$-function; certain rigid meromorphic cocycles. Their properties strongly mimic those of the differences between two singular moduli, both in terms of the fields of definition of their special values, and the factorisations of their norms. In this talk, we will focus on the CM-values of $p$-adic theta-functions, which generalise the norms of the differences of singular moduli as studied by Gross and Zagier to other genus zero Shimura curves. We explain how this work fits within the framework of rigid meromorphic cocycles and how it might lead to a more unified $p$-adic treatment of RM-theory and CM-theory.

Ardakov--Wadsley introduced the sheaf Dcap of rapidly converging differential operators on a smooth rigid analytic variety. The category of coadmissible Dcap-modules is an analogue of that of coherent D-modules in the classical, complex setting and provides a powerful geometric framework for the study of p-adic representations. In this talk, I will show that locally, the Banach algebras involved in the definition of Dcap are Auslander regular rings – thus, coadmissible modules admit finite projective resolutions “locally on the cotangent bundle”. As an application, we obtain projection formulae and adjunction results for Dcap-module operations.

The cohomology groups of proetale $\mathbf{Q}_p$-local systems on rigid-analytic varieties over $\mathbf{C}_p$ can be infinite-dimensional $\mathbf{Q}_p$-vector spaces even when the varieties are smooth and proper. Nevertheless, a recent result of Anschuetz-Le Bras-Mann shows that in the smooth and proper case they still have the structure of Banach-Colmez spaces and satisfy a version of Poincare duality. In my talk, I will discuss some background for this statement and then explain a different proof, which is essentially diagrammatic and follows a similar strategy as a previous argument in the case of $\mathbf{F}_p$-local systems. Joint work in progress with Shizhang Li, Wieslawa Niziol and Bogdan Zavyalov.

Soit $A$ un ensemble dénombrable de réels $>1$, et soit $\epsilon>0$. Existe-il des éléments distincts $\alpha, \beta$ dans $A$ et un entier naturel $n$ tel que $|n\alpha-\beta| < \epsilon$ ? Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que la réponse est oui si $A$ possède une densité logarithmique supérieure positive i.e. $\limsup_{x\to +\infty} \frac{1}{\log x} \sum_{\alpha\in A, \alpha\leq x} \frac{1}{\alpha}>0$. Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500\$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne. Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

There is a functor $\mathbb{V}^\vee\circ D^\vee_\Delta$ from the category of smooth $p$-power torsion representations of $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ to the category of inductive limits of continuous representations on finite $p$-primary abelian groups of the direct product $G_{\mathbb{Q}_p,\Delta}\times \mathbb{Q}_p^\times$ of $(n-1)$ copies of the absolute Galois group of $\mathbb{Q}_p$ and one copy of the multiplicative group $\mathbb{Q}_p^\times$. In the talk I explain why this functor attaches finite dimensional representations on the Galois side to smooth $p$-power torsion representations of finite length on the automorphic side. This has some implications on the finiteness properties of Breuil's functor, too. Moreover, $\mathbb{V}^\vee\circ D^\vee_\Delta$ produces irreducible representations of $G_{\mathbb{Q}_p,\Delta}\times \mathbb{Q}_p^\times$ when applied to irreducible objects on the automorphic side and detects isomorphisms unless it vanishes. Joint work with G. Jakovác.

Given an algebraically closed complete valued field $K$ over $\mathbb{F}_q$, an Anderson $t$-module of dimension $d$ is given by the topological $\mathbb{F}_q$-vector space $K^d$, endowed with an $\mathbb{F}_q$-linear action $\phi_t=\sum_{i\geq0}T_i\tau^i\in M_{d\times d}(K)[\tau]$, where $\tau:K^d\to K^d$ sends $(v_1,\dots,v_d)$ to $(v_1^q,\dots,v_d^q)$. In analogy with complex abelian varieties, there is an analytic map $\exp=\sum_{i\geq0}E_i\tau^i: K^d\to K^d$---which is not necessarily surjective---such that $\phi_t\exp=\exp T_0$. The adjoint exponential, defined as the series $\exp^*:=\sum_{i\geq0}\tau^{-i}E_i^T$, determines a (non-analytic) continuous map $K^d\to K^d$. Using the factorization properties of $K[\![x]\!]$, Poonen proved that there is a perfect duality of topological $\mathbb{F}_q$-vector spaces $\ker(\exp)\times\ker(\exp^*)\to\mathbb{F}_q$ under the condition $d=1$. In this talk, I explain that for an arbitrary \textit{abelian} Anderson $t$-module, we have a collection of perfect pairings $\ker(\phi_{t^n})\times\ker(\phi^*_{t^n})\to\mathbb{F}_q$, and that we can use them to obtain a canonical generating series $(F_\phi)_c\in M_{d\times d}(K)[\![\tau^{-1},\tau]\!]$ for all $c\in\mathbb{F}_q(\!(t^{-1})\!)/\mathbb{F}_q(t)$. The study of the properties of $F_\phi$ allows us to prove that, if $\exp$ is surjective, $\ker(\exp^*)$ is compact and isomorphic to the Pontryagin dual of $\ker(\exp)$. Moreover, we deduce an alternative explicit description of the Hartl--Juschka pairing, obtained by Gazda and Maurischat in a recent preprint.