Groupes de travail : Idéal d'Eisenstein et motifs d'Artin

Les conjectures que nous avons esquissées jusqu'à présent sont nées de la conjecture de Harris–Venkatesh (objet d'un groupe de travail en 2023). Nous rappellerons ce qu'est cette conjecture en termes élémentaires. Elle concerne la représentation d'Artin associée à l'adjointe d'une représentation galoisienne associée à une forme de poids 1. Nous donnerons un point de vue sur les invariants définis par Harris et Venkatesh en terme de la théorie de Borisov–Gunnels (qui permet d'écrire une forme modulaire de poids 2 comme comme combinaison quadratique de séries d'Eisenstein de poids 1), laquelle semble découler de la méthode de Rankin-Selberg. Nous ferons le point sur les  progrès depuis 2023. Nous essaierons de donner quelques perspectives et de formuler quelques questions.

Les conjectures équivariantes sont une reformulation et généralisation due à Kato des conjectures de Bloch-Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L prenant en compte une action supplémentaire d'une algèbre de coefficients. Un avantage de ce formalisme est qu'il est compatible avec la réduction modulo un idéal de l'algèbre des coefficients. Dans cet exposé, je présenterai ce formalisme, montrerai le lien avec la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et comment elle la généralise et terminerai par une utilisation de la compatibilité par congruence pour construire des éléments zêtas pour les formes modulaires de poids 1.

Motivé par l'étude de l'arithmétique des formes de poids 1, j'introduirai dans cet exposé un analogue p-adique de la conjecture de Stark. Tout comme la conjecture de Stark constitue un cas particulier ''explicite'' de la conjecture de Beilinson, son analogue p-adique s'interprète comme un raffinement des conjectures de Beilinson p-adiques formulées par Perrin-Riou et Benois. La preuve complète de cette conjecture reste hors de portée, sa formulation supposant implicitement la conjecture de Stark. Néanmoins, la définition des régulateurs p-adiques et les L-invariants qui interviennent dans cette conjecture ressemble fortement à celle de quantités mod p introduites dans les exposés précédents. On peut donc espérer que la conjecture de Stark p-adique offrira un éclairage nouveau sur les conjectures récemment formulées dans le cadre de ce groupe de travail. 

Emmanuel a mentionné l'intérêt à obtenir une valeur numérique de L(F,rho,1) pour tester ses conjectures. Je parlerai du problème de calcul numérique de fonctions L en général et de la technique de prolongement par équation fonctionnelle et inversion de Fourier qui s'applique très bien dans le cadre qui nous intéresse, et qui donne de solides garanties de validité numérique y compris pour des fonctions L dont l'existence reste conjecturale.

Je décrirai également les "domaines de valeurs" (degré, conducteur, précision) accessibles en pratique sur ordinateur, et les quelques problèmes rencontrés pour effectuer les calculs dans le cadre d'une courbe modulaire tordue par un caractère de Hecke évoqué par Emmanuel.

Dans la première partie, nous avons considérés le cas où la représentation d'Artin $\rho$ est un caractère de Dirichlet. Dans cette deuxième partie, nous considérons les cas où $\rho$ est induite d'un caractère des classes de rayons d'un corps quadratique (réel ou imaginaire). Nous rappellerons des formules sur les fonctions L dues à Waldspurger (et Gross, Popa...). En se basant sur ces exemples et sur des calculs numériques de Pascal Molin (qui seront expliqués en détails dans un exposé ultérieur de Pascal), nous discuterons ensuite de potentielles conjectures dans les cas $d^-=0$ ou $d^+=0$.
 

Dans son premier exposé, Loïc Merel a décrit un invariant $c_{\rho}$ provenant de la valeur critique (conjecturale) $L(\rho \otimes \tilde{\epsilon}, s)$ en $s=1$, où $\tilde{\epsilon}$ est la représentation Galoisienne associée au module de Tate du quotient d'Eisenstein de $J_0(N)$ et $\rho$ est une représentation d'Artin (sur $\mathbf{Q}$). L'objectif de cet exposé est de considérer quelques exemples de choix de $\rho$ (e.g. de dimension 1, 2 ou adjointe d'une forme de poids 1) et de voir ce que l'on peut prouver ou conjecturer concernant $c_{\rho}$ dans ces cas. On essaiera aussi de discuter les obstacles et idées pour formuler une conjecture plus générale.

Ceci est une introduction au groupe de travail. Des notes sont disponibles.